Презентация для урока алгебры "Десять способов решения квадратного уравнения"

в классах с любым уровнем подготовки.
Умением решать квадратные уравнения овладевают

практически все выпускники средней школы. Но чаще всего учащиеся для нахождения корней уравнения применяют только единственный способ: через применение формул для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения. Но есть и другие формулы и методы решения, применение которых позволяет более рационально и быстрее решать данные уравнения, что поможет учащимся успешнее овладеть программой.
Данный проект позволит расширить область математических знаний учащихся по теме за счет изучения новых методов, не входящих в школьный курс математики.

«Квадратные уравнения».
Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы.
Создание условий для

самореализации личности.

уравнения известными способами.
Ввести теоремы, позволяющие решать уравнения нестандартными способами.
Продолжить формирование

общенаучных навыков математической культуры.
Содействовать формированию интереса к исследовательской деятельности.
Создать условия для учащихся в реализации и развитии интереса к предмету математика.

решение типовых задач. На уроках будет использоваться фронтальный опрос, который

охватывает большую часть учащихся класса, что позволяет развивать точную лаконичную речь, способствовать работать в быстром темпе. Основные формы работы с учащимися: лекция с элементами беседы, практическая работа, самостоятельная работа, творческая поисковая работа. Проект мобильный. т.к. дает возможность уменьшить количество задач при успешном усвоении метода, а блочная подача позволит учащимся, пропустившему урок, приступить к работе, не испытывая трудностей.
Отличительной особенностью проекта является знакомство с методами решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки и способом «номограмм».

решения уравнений.
Различные формулы для решения уравнений. Уверенно применять формулы, способы,

теоремы для решения квадратных уравнений.
Понимать лексику, связанную с предметом; строить, читать, понимать графики.
При вычислении применять устные и письменные приемы, пользоваться современными техническими средствами обучения.

квадратных

уравнений

+24 = 0.
Разложим на множители левую часть:
х2 +

10х +24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) =
=(х + 12) (х – 2)
х + 12) (х – 2) = 0
х + 12 =0 или х – 2= 0
х = - 12 х = 2
Ответ: - 12; 2.
Решить уравнения:
х2 - х = 0; х2 + 2х = 0; х2 - 81 = 0;
х2 + 4х +3= 0; х2 + 2х -3 = 0.

= 0.
Выделим полный квадрат двучлена:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2х∙ 3 + 32 – 32 - 7 = (х +3 )2 - 16
(х +3 )2 - 16 = 0
х(х +3 )2 = 16
(х +3 ) = 4 или (х +3 ) = - 4
х = 1 х = -7
Ответ: -7; 1.
Решить уравнения:
х2 - 8х + 15 = 0; х2 + 12х + 20 = 0; х2 - 6х + 8 = 0;
х2 + 4х +3= 0; х2 + 2х - 2= 0.

– нечетное, то D = b2 - 4ac

Если b =2k,

то

Решите уравнения
2 х2 - 5х +2 = 0; 6 х2 + 5х +1 = 0.

4 х2 - 5х +2 = 0.

2 х2 - 6х +4 = 0.

х2 - 18х +17= 0.

с ∈ R
а = 1, то квадратное

уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным.

его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение –

свободному члену q.
Т. е.  x1 + x2 = – p  и x1 x2    = q

квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение,

то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2.

мы, тем не менее, можем сказать, что их

сумма должна быть равна – 2, а произведение должно равняться –8.

корни квадратного трехчлена.
Так, находя корни квадратного уравнения
x2 – 7x + 10 = 0,

можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 10) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 7.

= 0.
Запишем уравнение в виде х2 = - 2х

+ 3.
В одной системе координат построим графики функций
у = х2 и у = - 2х + 3.
Обозначим абсциссы точек пересечения графиков.
Ответ: -3; 1

bх + c = 0.

Построим точки:

S ( -b/2a;(a+c)/2a) – центр окружности и точка А (0;1)
Проведем окружность радиуса SA.
Абсциссы точек пересечения с осью ОХ есть корни исходного уравнения.

= 0.
Представим в виде y2 - 6у =

16.
На рисунке «изображено» выражение y2 - 6у , т.е. их площади квадрата со стороной у дважды вычитается площадь квадрата со стороной 3. Значит y2 - 6у + 9 есть площадь квадрата со стороной у – 3. Выполняем замену y2 - 6у = 16 у-3 3
(у – 3)2 =16 + 9 = 25
у – 3 = 5; у – 3 = - 5
у = 8; у = - 2. у
Ответ: -2; 8.
Решить уравнение:
y2 - 6у +16 = 0.

= 0. Умножим обе части на а, получим а 2

х2 + bах + cа = 0
Пусть ах = у, откуда х = у/а. Тогда у2 + уb + cа = 0. Его корни у1 ,
у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем
х1 = у/а; х2 = у/а. При этом коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, и поэтому его называют «способом переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и что самое важное, когда дискриминант точный квадрат.
Решим уравнение: 2х2 - 11х + 15 = 0. Перебросим коэффициент 2 к свободному члену х2 - 11х + 30= 0. Согласно теореме Виета у1 = 5; у2 = 6; х1 = 2,5; х2 = 3. Ответ: 2,5; 3.
Решить уравнение: 2х2 - 9х + 9= 0; 10х2 - 11х + 3 = 0;
3х2 + 11х + 6 = 0. 6х2 + 5х - 6 = 0. 3х2 + 1х - 4 = 0.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. 1

+ 6 – 7 = 0. Значит х1 =1;
х2 =-7/1 = -7. Ответ: -7; 1.
Решить уравнение:
5 х2 - 7х + 2 = 0 ;11х2 + 25х - 36 = 0; 345х2 - 137х - 208 = 0 ;
3х2 + 5х - 8 = 0; 4х2 + 5х - 9 = 0.
Если а-b+c=0, то х1 =-1; то х2 =-с/а.
Решим уравнение 2х2 + 3х + 1 = 0. 2 - 3 + 1 = 0. Значит х1 =-1; х2 =-1/2 . Ответ: -1; -1/2.
Решить уравнение:
5 х2 - 7х - 12 = 0 ;11х2 + 25х + 14 = 0; 3х2 + 5х + 2 = 0 ;
5х2 + 4х - 1 = 0; х2 + 4х + 3= 0.

способ решения квадратных уравнений, помещенный на стр. 83 (Брадис В.М.

Четырехзначная математическая таблица.)
Таблица XXII.Номограмма для решения уравнения
z2 +p z + g = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. криволинейная шкала номограммы построена по формулам. Полагая ОС = p , ED = g, OE =a (все в см) из подобия треугольников CAH и CDF получаем пропорцию. Откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 +p z + g = 0, причем буква z означаем метку любой точки кривой шкалы.

М, Просвещение, 1992г.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. – М.

Просвещение, 1990г.
Пресман А.А. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. – М. Квант № 4/1972г.стр.34.
Газета «Математика» № 42/2001г «Квадратные уравнения».
Литвинова С.А. «За страницами учебника математики». Издательство «Панорама» 2006г.