Презентация для урока "Свойства неравенств"

математики 1 категории
МОУ ГООШ г.Калязина Тверская область

b соединены знаком неравенства   ≠ или одним из отношений

порядка  a > b , или
a < b или  a ≥ b , или же a ≤ b , установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство.
Если a > b – это значит, что a – b – положительное число;
Если a < b - это значит, что a – b – отрицательное число;

одинакового смысла
Неравенства противоположного смысла
Неравенства

вида
a > b, c > d (или a < c, c < d) называют неравенствами одинакового смысла

Неравенства вида a > d и
c < d называют неравенствами противоположного смысла

называют нестрогими

b > c, то a > c
Доказательство.
1) a >

b – по условию, т.е. a - b – положительное число.
2) b > c – по условию, т.е. b - c – положительное число.
3) Сложив положительные числа a - b и b - c, получим положительное число.
4) Следовательно, (a - b) + (b - c) = a - c. Значит, a - c – положительное число , т.е a > c, что и требовалось доказать.

> b означает, что на числовой прямой точка a расположена

правее точки b, а неравенство b > c - что точка b расположена правее точки c. Но тогда точка a расположена на прямой правее точки c, т.е. a > c. Это свойство называют свойством транзитивности (Образно говоря, от пункта a мы добираемся до пункта c как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b)

c

b

a

x

> b + c

То

есть, если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число, то знак неравенства не изменится.

Пример:
 6 > 4 , если к обеим частям неравенства прибавить 2 , то знак неравенства не изменится. Получится такое выражение: 8 > 6. На основе первого свойства можно сделать вывод, что любое слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Пример: 
5 < 9, в этом неравенстве можем правую часть перенести в левую, а левую в правую, и знак неравенств не поменяется: -9 < 5

то a b

m m
То есть, если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
Пример: a > b , тогда a b

Если а > b и m > 0, то am> bm
То есть, если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
Пример: a > b , тогда 8a > 8b

Если а > b и m < 0, то am < bm.
То есть, если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >,> на < ).
Пример: a < b, тогда -9a > -9b;

Если a > b, то -a <-b;
То есть, если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства.

8

8

a + c > b + d.
Доказательство.
I способ. 

1. а > b и с > d - по условию, значит, а - b и с - d — положительные числа.
2. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) — положительное число.
3. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), то и (а + с) - (b + d) — положительное число. Поэтому a + c > b + d, что и требовалось доказать.
II способ. 
1.Так как а > Ь, то а + с > b + с – по свойству 2.
2. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b. 
3.Итак, а + с > b + с, b + с > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d, что и требовалось доказать.

a > b, c > d, то

ac > bd.
То есть, при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.
Доказательство.
1.Так как a > b и c > 0, то ac > bc – по свойству 3.
2.Так как с > d и b > 0, то cb > db – по свойству 3.
3. Итак, ac > bc, bc > bd. Тогда ac > bd - по свойству транзитивности, что и требовалось доказать.

> b, то аn > Ьn, где n — любое натуральное число.

То есть, если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.
Дополнение:
Если n — нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла аn > bn.

> b.
Доказать, что
Решение.

Рассмотрим разность

Имеем:

По условию, а, b, а - b — положительные числа. Значит,

- отрицательное число, т.е.

откуда следует, что

число, значит,
  Заметим, что

разность левой и правой частей неравенства. Имеем

называют средним арифметическим чисел а и b;

Число  

называют средним геометрическим чисел а и b.
Таким образом, среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.

Замечание. Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что
(так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что  такое ?

Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиана,  проведенная к гипотенузе, т. е.  , ,


не меньше высоты, проведенной к гипотенузе (т.е.  ),

— очевидный геометрический факт (см. рис. 116).

Огюсте́н Луи́ Коши́