Разделы презентаций


Презентация по теме "Комплексные числа и действия над ними"

Содержание

После изучения темы студенты должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа;

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


«Комплексные числа и действия
над ними»
Локтионова Г.Н.
преподаватель математики
ГАПОУ «Автотранспортный колледж»

«Комплексные числа и действия над ними» Локтионова Г.Н.преподаватель математикиГАПОУ «Автотранспортный колледж»

Слайд 2После изучения темы студенты должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного

числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения

в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.
После изучения темы студенты должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над комплексными

Слайд 3 План

Историческая

справка
Основные понятия
Геометрическое изображение Геометрическое изображение Геометрическое

изображение комплексных чисел
Формы записи комплексных чисел
Действия над комплексными числами
ПланИсторическая справкаОсновные понятияГеометрическое изображение Геометрическое изображение

Слайд 4Рекомендуемая литература

Гусак, А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов: в

2т. Т.1. /А.А. Гусак. – 5-е изд. – Минск.: ТетраСистемс,

2004. – 544с.

Канатников, А.Н. Линейная алгебра. / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 – 336 с.

Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. / А.Г. Курош. - М.: Наука,1971- 432 .

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. - 288 с.

Сикорская, Г.А. Курс лекций по алгебре и геометрии: учебное пособие для студентов транспортного факультета / Г.А. Сикорская. - Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2007. – 374 с.

содержание

Рекомендуемая литератураГусак, А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов: в 2т. Т.1. /А.А. Гусак. – 5-е изд.

Слайд 5п.1 Историческая справка


содержание
Понятие комплексного числа возникло из практики

и теории решения алгебраических уравнений.
С комплексными числами впервые математики

встретились при решении квадратных уравнений. Вплоть до ХVI века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание.

Кардано, занимавшийся решением уравнений 3-й и 4-й степеней был одним из первых математиков, формально оперировавших комплексными числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным.

Смысл комплексных чисел разъяснил другой итальянский математик Р.Бомбелли. В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме.

Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считали «воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже такой выдающийся математик как Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого реального истолкования, и они навечно останутся воображаемыми, мнимыми. Аналогичных взглядов придерживались великие математики Ньютон и Лейбниц.

п.1 Историческая справка содержание Понятие комплексного числа возникло из практики и теории решения алгебраических уравнений. С комплексными

Слайд 6Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики

требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия

для разработки их геометрического истолкования.

В прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине XVIII века авторы представляют произвольные мнимые величины в виде z=a+ib, что позволяет изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения.

И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами.

Этому математика обязана Гауссу, опубликовавшему в 1831 г. свою работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.

содержание

Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами,

Слайд 7п.2 Основные понятия
Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib,

где a и b – действительные числа, i – мнимая

единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z
(a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).

Если a=Re z=0, то число z будет чисто мнимым, если b=Im z=0, то число z будет действительным.

Числа z=a+ib и называются комплексно – сопряженными.

Два комплексных числа z1=a1+ib1 и z2=a2+ib2 называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

a1=a2; b1=b2

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части
a=b=0.
Также комплексные числа можно записывать, например, в виде z=x+iy, z=u+iv.

содержание

п.2 Основные понятия Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib, где a и b – действительные числа,

Слайд 8п.3 Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z=x+iy можно

изобразить точкой M(x;y) плоскости xOy такой, что х = Re

z, у = Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy (рисунок 1).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Рисунок 1

Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+0i=x .

Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат мнимые комплексные числа z=0+yi=yi.

содержание

п.3 Геометрическое изображение комплексных чисел Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости xOy такой, что

Слайд 9Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы
т.е. векторы,

началом которых служит точка O(0;0), концом M(x;y) .
Длина вектора

изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается | z| или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен.
Аргумент комплексного числа z≠0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 πk,

где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (- π, π].

содержание

Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы т.е. векторы, началом которых служит точка O(0;0), концом M(x;y)

Слайд 10п.4 Формы записи комплексных чисел
Запись числа в виде z=x+iy называют

алгебраической формой комплексного числа.
Из рисунка 1 видно, что x=rcosφ,

y=rsinφ, следовательно, комплексное z=x+iy число можно записать в виде:


Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле


Аргумент φ определяется из формул


содержание

п.4 Формы записи комплексных чиселЗапись числа в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа. Из рисунка 1

Слайд 11При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно

определить лишь главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать

φ=arg z.

Так как то из формулы получаем, что
- для внутренних точек I, IV четвертей;
- для внутренних точек II четверти;
- для внутренних точек III четверти.






Пример 1. Представить комплексные числа и в тригонометрической форме.

содержание

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа,

Слайд 12Решение. Комплексное число z=x+iy в тригонометрической форме имеет вид z=r(cosφ

+isinφ), где
1) z1=1+i (число z1 принадлежит I четверти), x=1,

y=1.

Таким образом,

2) (число z2 принадлежит II четверти)

Так как то

Следовательно,

Ответ:



содержание

Решение. Комплексное число z=x+iy в тригонометрической форме имеет вид z=r(cosφ +isinφ), где 1) z1=1+i (число z1 принадлежит

Слайд 13Рассмотрим показательную функцию w=ez, где z=x+iy - комплексное число.
Можно показать,

что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется

уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)

где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:


Для комплексно – сопряженного числа получаем:


содержание

Рассмотрим показательную функцию w=ez, где z=x+iy - комплексное число.Можно показать, что функция w может быть записана в

Слайд 14Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения

значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить

комплексное число в тригонометрической форме

z=r(cosφ +isinφ)


и воспользоваться формулой Эйлера eiφ=cosφ+isinφ, то комплексное число можно записать в виде

z=r eiφ

Полученное равенство называется показательной формой комплексного числа.

содержание

Из этих двух уравнений получаем: Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных

Слайд 15п.5 Действия над комплексными числами
1) Действия над комплексными числами, заданными

в алгебраической форме
а) Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел

z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число, определяемое равенством

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).

Свойства операции сложения:

1. z1+z2= z2+z1,
2. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),
3. z+0=z.

б) Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению.

Разностью двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1 и определяется равенством
z=z1 – z2=(x1 – x2)+i(y1 – y2).

содержание

п.5 Действия над комплексными числами1) Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме а) Сложение комплексных чиселСуммой

Слайд 16в) Умножение комплексных чисел

Произведением комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется

комплексное число, определяемое равенством

z=z1 z2=(x1 x2 –y1 y2 )+i(x1 y2

–x2 y1 ).

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i2= – 1.

Свойства операции умножения:
1. z1z2= z2z1,
2. (z1z2)z3=z1(z2z3),
3. z1(z2+z3 ) =z1z2+z1z3,
4. z∙1=z.

содержание

в) Умножение комплексных чиселПроизведением комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число, определяемое равенствомz=z1 z2=(x1 x2 –y1

Слайд 17г) Деление комплексных чисел

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Частным двух

комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое

будучи умноженным на z2, дает число z1, т.е. если z2 z = z1.

Если положить z1=x1+y1i, z2=x2+y2i≠0, z=x+yi, то из равенства (x+yi)(x2+iy2)= x1+y1i, следует


Решая систему, найдем значения x и y:


Таким образом,


содержание

г) Деление комплексных чиселДеление определяется как действие, обратное умножению.Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное

Слайд 18На практике вместо полученной формулы используют следующий прием: умножают числитель

и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю («избавляются

от мнимости в знаменателе»).

Пример 2. Даны комплексные числа 10+8i, 1+i. Найдем их сумму, разность, произведение и частное.

Решение.

а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i=9+7i;

в) (10+8i)(1+i) =10+10i+8i+8i2=2+18i;

г)

содержание

На практике вместо полученной формулы используют следующий прием: умножают числитель и знаменатель дроби   на число,

Слайд 19д) Возведение комплексного числа, заданного в алгебраической форме в n-ю

степень
Выпишем целые степени мнимой единицы:
и т.д.
В общем виде

полученный результат можно записать так:

Пример 3. Вычислить i2092 .

Решение.

Представим показатель степени в виде n=4k+l и воспользуемся свойством степени с рациональным показателем z4k+1=(z4)k ∙ zl .
Имеем: 2092=4∙523 .
Таким образом, i2092 = i4∙523 =(i4)523, но так как i4=1, то окончательно получим i2092 =1.

Ответ: i2092 =1.

содержание

д) Возведение комплексного числа, заданного в алгебраической форме в n-ю степеньВыпишем целые степени мнимой единицы: и т.д.

Слайд 20При возведении комплексного числа a+bi во вторую и третью степень

пользуются формулой для квадрата и куба суммы двух чисел, а

при возведении в степень n (n – натуральное число, n≥4) – формулой бинома Ньютона:



Для нахождения коэффициентов в этой формуле удобно пользоваться треугольником Паскаля.

содержание

При возведении комплексного числа a+bi во вторую и третью степень пользуются формулой для квадрата и куба суммы

Слайд 21е) Извлечение квадратного корня из комплексного числа
Квадратным корнем из комплексного

числа называется такое комплексное число, квадрат которого равен данному.
Обозначим квадратный

корень из комплексного числа x+yi через u+vi, тогда по определению

Формулы для нахождения u и v имеют вид


(1)

Знаки u и v выбирают так, чтобы полученные u и v удовлетворяли равенству 2uv=y .

содержание

е) Извлечение квадратного корня из комплексного числаКвадратным корнем из комплексного числа называется такое комплексное число, квадрат которого

Слайд 22Пример 4. Извлечем квадратный корень из комплексного числа z=5+12i.
Решение.

Обозначим квадратный

корень из числа z через u+vi, тогда (u+vi)2=5+12i.

Поскольку в

данном случае x=5, y=12, то по формулам (1) получаем:


u2=9; u1=3; u2= – 3; v2=4; v1=2; v2= – 2.

Таким образом, найдено два значения квадратного корня: u1+v1i=3+2i, u2+v2i= –3 –2i, . (Знаки выбрали согласно равенству 2uv=y, т.е. поскольку y=12>0, то u и v одного комплексного числа одинаковых знаков.)

Ответ:


содержание

Пример 4. Извлечем квадратный корень из комплексного числа z=5+12i.Решение.Обозначим квадратный корень из числа z через u+vi, тогда

Слайд 232) Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Рассмотрим два

комплексных числа z1 и z2 , заданных в тригонометрической форме
а)

Произведение комплексных чисел

Выполняя умножение чисел z1 и z2 , получаем

содержание

2) Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической формеРассмотрим два комплексных числа z1 и z2 , заданных

Слайд 24б) Частное двух комплексных чисел

Пусть заданы комплексные числа z1

и z2 ≠ 0.
Рассмотрим частное

имеем


содержание

б) Частное двух комплексных чиселПусть заданы комплексные числа  z1 и  z2 ≠ 0.Рассмотрим частное

Слайд 25Пример 5. Даны два комплексных числа
Найдите
Решение.

1) Используя

формулу

. получаем

Следовательно,

2) Используя формулу . получаем


Следовательно,


Ответ:



содержание

Пример 5.  Даны два комплексных числа Найдите Решение.1) Используя формулу

Слайд 26в) Возведение комплексного числа, заданного в тригонометрической форме в n-ю

степень
Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае

получим:


(2)

где n– целое положительное число.

Следовательно, при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Выражение (2) называется формулой Муавра.

содержание

в) Возведение комплексного числа, заданного в тригонометрической форме в n-ю степеньИз операции умножения комплексных чисел следует, что

Слайд 27Заслуги Муавра:

открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и

извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме;
первый стал использовать

возведение в степень бесконечных рядов;
большой вклад в теорию вероятностей: доказал частный случаи теоремы Лапласа, провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению.

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик французского происхождения.

содержание

Заслуги Муавра:открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической

Слайд 28Пример 6. Найти формулы sin2ϕ и cos2ϕ.
Решение.

Рассмотрим некоторое комплексное

число
Тогда с одной стороны
По формуле Муавра:
Приравнивая, получим



Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

содержание

Пример 6. Найти формулы sin2ϕ и cos2ϕ. Решение.Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны По формуле

Слайд 29г) Извлечение корня п-ой степени из комплексного числа
Корнем п-ой степени

из комплексного числа z называется комплексное число w, удовлетворяющее равенству

wn=z, т.е. если wn=z.

Если положить а то, по определению корня и формуле Муавра, получаем

Отсюда имеем

То есть


Поэтому равенство принимает вид



где (т.е. от 0 до n-1).


содержание

г) Извлечение корня п-ой степени из комплексного числаКорнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число

Слайд 30Таким образом, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z

всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня

n-ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.

Пример 7. Найти все значения

Решение.

Вначале представим число в тригонометрической форме.

В данном случае x=1, , таким образом,

Следовательно,

Используя формулу

где k=0,1,2,…,(n-1), имеем:

содержание

Таким образом, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений.

Слайд 31Запишем все значения :
при
при
при


Ответ:
содержание

Запишем все значения    : при при при Ответ: содержание

Слайд 32Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте определение комплексного числа.
2. Какое комплексное

число называется чисто мнимым?
3. Какие два комплексных числа называются

сопряженными?
4. Объясните, что значит сложить комплексные числа, заданные в алгебраической форме; умножить комплексное число на действительное.
5. Объясните принцип деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.
6. Запишите в общем виде целые степени мнимой единицы.
7. Что означает возведение комплексного числа, заданного алгебраической формой в степень ( n- натуральное число)?
8. Расскажите как изображаются комплексные числа на плоскости.


Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте определение комплексного числа.2.  Какое комплексное число называется чисто мнимым?3.  Какие два

Слайд 339. Какая форма записи называется тригонометрической формой комплексных чисел?
10. Сформулируйте

определение модуля и аргумента комплексного числа.
11. Сформулируйте правило умножения комплексных

чисел, записанных в тригонометрической форме.
12. Сформулируйте правило нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
13. Сформулируйте правило возведения в степени комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
14. Сформулируйте правило извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.
15. Расскажите о значении корня n-ой степени из единицы и о сфере его применения.


9. Какая форма записи называется тригонометрической формой комплексных чисел?10. Сформулируйте определение модуля и аргумента комплексного числа.11. Сформулируйте

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика