Слайд 1Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Автор: Жагалкович Полина Сергеевна
Учебное заведение: МОУ
Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре
Адрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС
2-10
Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна
Слайд 2Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою
голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам
потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Слайд 3Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая
часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1. Доказать что для
любого хϵR
Доказательство. 1 способ.
2 способ.
для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.
для хϵR
для хϵR
для хϵR т. к.
Слайд 4для любых действительных х и у
Пример 2. Доказать, что для
любых x и y
Доказательство.
Пример 3. Доказать, что
Доказательство.
Пример 4.
Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
Слайд 52. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода.
Доказать, что
для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что .
Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.
Ч.Т.Д.
Слайд 6Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С, так как будем иметь следующее отношения:
, что является обоснованием исходного неравенства.
Слайд 7 Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С,
для которых выполняется неравенство
, что невозможно
ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Слайд 8для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности
квадратного трехчлена , если
и .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть , a=2, 2>0
=>
Слайд 9для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных х и
у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как
квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D<0
D= => P(x)>0 и
верно при любых действительных значениях х и у.
Слайд 10Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство.
Пусть ,
Это означает, что для любых действительных у и
неравенство
выполняется при любых действительных х и у.
для хϵR
Слайд 11Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9. Доказать, что
для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным
неравенством для , ,
.
Получаем исследуемое неравенство
Слайд 12для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых а и
b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то верно
причем равенство достигается
только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
( )* ( )>0, что доказывает неравенство
Слайд 13Пример 11. Докажем, что для любых
Доказательство.
на R.
Если
, то знаки чисел
и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Слайд 14Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно
натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения
при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)
Слайд 15*3
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.
Сравним
и :
,
Имеем:
Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Слайд 16Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство
Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Слайд 17Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел
больше или равно их среднего геометрического
, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Слайд 18Пусть n=2, , , тогда
Пусть
n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, ,
, , тогда
Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Слайд 19Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для
любых ; справедливо соотношение
Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для
n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Слайд 20Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо
неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство,
так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
Слайд 21Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех
натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений вида
Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.
Слайд 22Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство. Положив х=0,5
и применив теорему Бернулли для выражения
, получим
требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.
Слайд 23Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А,
такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики
у него было слишком мало воображения.
