Проект по математике "Теорема Пифагора"

Пифагора).
•"Мыслители" - Углубленная математика
(выход на различные доказательства теоремы).
•"Просветители" –

Подбор,
разработка занимательных заданий
•"Практики" – Применение
теоремы Пифагора в жизни.

теоремы
Заключение
Литература

ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать

ее способна лишь очень незначительная его часть.

Теорема Пифагора!

красота,
в) значимость.

Знатоки утверждают, что причин здесь три:

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого

названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко недостоверны. С его именем связано много легенд.

Биография Пифагора

Востока, посещал Египет, Индию и Вавилон, изучал древнюю культуру и

достижения науки разных стран.

Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.

колонией, возникла знаменитая «Пифагорейская школа», сыгравшая важную роль в научной

и политической жизни древней Греции.

Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.

преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время

считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора.

Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили тайной имя своего учителя, так что установить правду о Пифагоре невозможно.

лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние

египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий.

Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол.

храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике.
Как

свидетельствуют летописи, в Древнем Китае уже около 2200 года до н.э. для треугольника со сторонами 3, 4, 5 было найдено правило «гоу-гу», с помощью которого можно было по известным гипотенузе и одному из катетов находить другой неизвестный катет, а также гипотенузу, если известны оба катета.

Формулировки теоремы Пифагора различны. Общепринятой считается следующая:
     
Во времена Пифагора формулировка

теоремы звучала так:

и называлось:
Сейчас известно около 150 различных доказательств этой теоремы

(геометрических, алгебраических, механических и т.д.)

“Dons asinorum” -
«ослиный мост»

или

“elefuga” -
«бегство убогих»

«ветряной мельницей»,
«теоремой – бабочкой»
или
«теоремой невесты»

а сама теорема –

фигур
Аддитивные доказательства (основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на

фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе
Доказательства методом достроения
Алгебраический метод доказательства
И т.д.

значительное место занимает метод разложения. Сущность метода разложения заключается в

том, что квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складываются из равных частей. Простейший пример применения этого метода имеем при доказательстве теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника (см. рис.). Из этого рисунка все так понятно, что комментировать его не требуется. Как писал в подобных случаях индийский математик XII века Бхаскара: «Смотри!»

с катетами a, b и гипотенузой c.
Док-ть: c2

= a2 + b2,

так, как показано на рисунке.
Sкв. = (a + b)2

или Sкв. = 4Sтр. + S`кв.
Sтр. = 1/2ab; S`кв. = c2 , тогда
Sкв. = 4 ·1/2ab + c2

Т.о., (a + b)2 = 4 ·1/2ab + c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

c2 = a2 + b2

A
B
C
с
S = c2
в
S = в2
a
S = a2
Площадь

квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах...

таких, что их с полным правом можно назвать шедеврами, настолько

они красивы и просты до гениальности. Первое (рис.1) принадлежит иранскому математику ан-Найризи (конец IX - начало Х века), комментатору Евклида, а второе (рис.2) — лондонскому биржевому маклеру и астроному-любителю Генри Перигэлу, опубликовавшему его в 1873 году. На этих рисунках тоже все настолько ясно, что указание Бхаскары и здесь остается в силе.

до н.э. по более древним источникам, кроме 24 задач, требующих

для своего решения применения правила «гоу-гу», содержится также чертеж, позволяющий доказать теорему Пифагора геометрически, как это представлено на рисунке. Возможно, что данный чертеж — свидетельство единственного «допифагорова» доказательства теоремы.

3, 4, 5, но и вообще всех прямоугольных треугольников было

хорошо известно. Так, в одном из самых ранних вавилонских математических текстов содержится следующая изящная задача:

из задач индийского математика XII века Бхаскары:

теоремы Пифагора
Она применяется в стереометрии,
архитектуре, астрономии и других областях

Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м,

и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC— равнобедренный АВ=ВС=4 м, BF=4 м, Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:
А) Из треугольника DBC:DB=2,5 м DС=√4*4-2,5*2,5=√16+6,25=√22,25≈4,7
Б) Из треугольника ABF: AF=√l6+16=√32≈5,7

Молниеотвод
Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h*h>a*a+b*b, значит h>√(a*a+b*b) Ответ: h>√(a*a+b*b)

B. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и

обратно одина­ковый путь, возникает вопрос: чему равна половина пути, который прохо­дит луч? Если обозначить отрезок АВ символом /, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой с, то уравнение примет вид:
с X t = I
Это произведение затраченного времени на скорость.
Попробуем взглянуть на то же явление из другой системы отсчета, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка А смещается и луч возвращается уже в новую точку С.
Вопрос: на сколько успеет сместиться точка, чтобы превратиться в точку С, пока путешествует световой луч, то есть спросим о половине данного смещения. Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния АС буквой d, то получим наше уравнение в виде:
v* t' = d
Буквой v обозначена скорость движения космического корабля.
Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? Чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта? Если обозначить половину длины пути света буквой s, получим уравне­ние:
c*t‘=s
Здесь с — это скорость света, at' — это тоже время, которые было рас­смотрено формулой выше. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треуголь­ник, высота которого равна /, которое было введено при рассмотрении про­цесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит пер­пендикулярно /, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковы прямо­угольных треугольников, гипотенузы которых АВ и ВС должны быть свя­заны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d, который был рассчитан только что, а второй катет — это s, который проходит свет, и который тоже рассчитали. Получаем уравнение: s*s =l*l + d*d..

конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия,

тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км).

Решение:
Пусть АВ=х, BC=R=200 км, ОС=r=6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ=r+х.
Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.

нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем. Сама

же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.

Вывод