Производная. Физический и геометрический смысл производной.

производной.
Геометрический смысл производной
Правила нахождения производных.
Непрерывность функции.
Содержание

на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление,

движется некоторое тело (материальная точка).
Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах).
Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

t тело находилось в точке M, её координата – s(t).
за

время Δt оно прошло путь МN .

Координата точки N – s(t+ Δt).
Тогда МN =Δs = s(t+ Δt) – s(t)

О

Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t; t+∆t] :

в момент времени t (её называют иногда мгновенной скоростью)?
Можно

сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [t; t+∆t]
при условии , что ∆t выбирается все меньше и
меньше;
иными словами, при условии, что ∆t→0.
Это значит , что

приближается к положению касательной
Предельным положением секущей МоМ,
когда М неограниченно

приближается к Мо, является касательная

Пусть дан график функции f(x). Необходимо определить тангенс угла наклона касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой х0

Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М0

Через точки М и М0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол α

Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М0.Соответственно будет меняться положение секущей ММ0

При этом координата х точки М будет стремиться к х0

К чему будет стремиться приращение аргумента?

А к какому углу будет стремиться угол α ?

(a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел

отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Нахождение производной называют дифференцированием

в новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 +

∆х).
Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
Составить отношение .
Вычислить lim .
Этот предел и есть f ′(x0).

Алгоритм нахождения производной

в точке хo

const) в точке хo

s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т.е.

s = s(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t).

Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.

угла наклона касательной, проведенной к графику через эту точку, к

положительному направлению оси ОХ.

точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также

имеет в этой точке производную, причем

(u + v)′ = u′ + v′

2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем

(Сu)′ = С∙u′

точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также

имеет в этой точке производную, причем

(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′

4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем

точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция

также имеет в этой точке производную, причем

3(5x – 3)2∙(5x – 3)′ =
= 3(5x – 3)2

∙ 5 = 15(5x – 3)2

2. (sin(4x + 8))′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8)′ =

= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)

непрерывна в этой точке.