Решение нестандартных задач

Выполнила:
Шульгина Дарья,
ученица 8А класса
Руководитель:
Зандер
Светлана Ивановна,
учитель математики


Славгород, 2009

задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил

и положений, определяющих их решение» (Фридман Л.Н. Как научиться решать задачи).
Однако понятие «нестандартная задача» относительное. Одна и та же задача может быть и стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком ученик с задачами такого типа или нет.

решения которой учащемуся неизвестен. Для решения таких задач мы выделили

4 ступени:
1.изучение условия задачи
2.поиск плана решения
3. осуществление плана, т.е. оформление найденного решения
4.изучение полученного решения – критический анализ результата и отбор полезной информации.

лет, я поняла, что не могу их так сразу решить,

но убедилась, что это задачи нестандартного типа. Я попытались классифицировать их и разбила на несколько групп.
Цель данного проекта: научиться решать олимпиадные задачи определённого типа

составить подборку задач по теме: задачи на делимость многозначного числа

на натуральное
решить эти задачи различными способами
использовать вспомогательные задачи
попытаться научиться составлять вспомогательные задачи
использовать метод полной индукции (метод перебора всех возможных случаев), метод неполной индукции (рассмотрение некоторых частных примеров) и решение в общем виде – дедукции
закрепить признаки делимости

доступен и понятен и другим учащимся, для этого выступлю на

элективных курсах, на конференции. В своём проекте я постараюсь показать ход действий, направление мысли при решении одной интересной задачи. Во что вылились наши поиски, исследования, вы и увидите в этом проекте

Дано многозначное число авс….kxyz. Отделив от него трёхзначное число, образованное

последними цифрами, получим два числа авс….k и xyz. Доказать, что если разность полученных чисел делится на 7 (11, 13), то и данное число делится на 7 (11, 13)

тогда учительница предложила

решить
вспомогательную задачу

5-й, 3-я с 6-й. Докажите, что это число кратно 7,

11, 13

Я не смогла найти подход к этой задаче, пришлось изучить некоторые основные понятия, условности, обозначения по этой теме, затем прорешать задачи повышенной сложности из учебника алгебры 7 класса

– десятки, с – единицы. Это число можно представить в

виде многочлена: авс = 100* а + 10*в + с

= 10у+х
в) аов = 100а + 10о + в
г) авсd

= 1000а + 100в + 10с + d

сва = 100а + 10в + с + 100с +

10в + а = 101а + 20в + 101с
б) авс + вс = 100а + 10в + с + 10в + с = 100а +20в + 2с
в) авс – ва = 100а + 10в +с – 10в – а = 99а + с
г) авс – ас = 100а + 10в + с – 10а - с = 90а + 10в

+ ва кратна сумме (а + в).
Представим в

виде многочлена: 10а + в + 10в + а = 11а + 11в = 11(а+в) т.к один из множителей делится на (а+в), то и все произведение делится на (а+в)
б) Разность чисел ав – ва кратна 9
Представим в виде многочлена: ав – ва = 10а + в – 10в – а = 9а – 9в = 9(а-в) т.к один из множителей делится на 9, то и все произведение кратно 9.

двузначному числу прибавить число оканчивающееся теми же цифрами, но в

обратном порядке, то полученная сумма будет кратна 11. Выполняется ли свойство для
трехзначных чисел?

а = 11а+11в = 11 ( а+в) число кратно 11

Попробуем использовать этот же алгоритм для трехзначных чисел.
авс +сва = 100а +10в+с+100с+10в+а= 101а+20в+101с свойство не выполняется. Число не делится на 11

а, 2я – в, 3я – с , тогда число

авсавс= 100000а + 10000в + 1000с + 100а + 10в + с =1000 ( 100а + 10в + с ) + авс = 1000авс + авс = 1001авс = 11*7*13 авс кратно 7,11,13

= ?
Сначала я никак не могла расписать разность,

но потом я поняла, что разность делится на 7 авс…к xyz = 1000 ( авс…к ) + xyz = 1000 авс…к + авс…к – авс…к + xyz = 1001 авс…к + ( xyz – авс…к) скобка уже делится на 7 , то и число 1001 тоже делится на 7, т.к каждое слагаемое делится на 7, то и вся сумма делится на 7 ( признак делимости суммы)
Теперь мы можем сами вывести признак делимости на 7,11,13

состоящим из 3х последних цифр, делится на 7,11,13, то и

все число делится на 7,11,13
НАПРИМЕР: 235 123 Вычтем из самого числа меньшее число и разность разделим на 7
235 – 123 = 112 : 7 = 16
Проверим делится ли само число на 7. Число делится!
А, например, число 234123 не делится на 7.
(проверено на10 примерах)

подход применить к другим подобным задачам, например таким:

его цифр

Решение: (1 способ) пусть само число ав = 10а

+ в, 0 а 9, 0 в 9
По условию задачи составим уравнение
10а + в = 4 ( а + в )
6а = 3в
2а = в
в этом уравнении нужно решать с помощью подбора , учитывая что а,в – цифры ( использовать метод полной индукции)
Если а = 1 то в = 2, т.е число = 12
а = 2 то в = 4 т.е число = 24
а = 3 то в = 6 т.е число = 36
а = 4 то в = 8 т.е число = 48
а = 5 то в = 10 такого быть не может т.к в не должно быть больше 9
ОТВЕТ: 12, 24,36,48

4 раза
Возьмем например а = 1 ( 1

*10), в = 4
ав = 14
14 не больше 5 в 3 раза
Возьмем а = 1 ( 1 *10), в =3
ав = 13
13 не больше 4 в 4 раза
Возьмем а = 1 ( 1 *10), в = 2
ав = 12
12 больше 3 в 4 раза !
Так же можно взять числа 24, 36, 48

по 1. В результате получили число, в 23 раза больше

первоначального. Найти это двузначное число.
РЕШЕНИЕ1: 1*ав*1=23*ав ав=10а+в
1000+10ав+1=23ав
1001=13ав
ав=77
Ответ:77

3*7= ( а 1ав1 заканчивается 1)
1а71=23 а7
1000+100а+10в+1=230а+23в
130а+13в=1001
130а+13*7=1001
130а=910
а=910/130
а=7

а - десятки, в – единицы ав=77
ответ:77

результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число.

Какое число задумано?
РЕШЕНИЕ: 143 – хо=3*х
Если х - однозначное, то хо – двузначное число
143-10х-о=3х
143=13х
Х=11 ( задуманное число)
Если х – двузначное число, то хо – трехзначное
143-100х-о=3х
143=103х
Х=1 (приблизительно) (ВАРИАНТ не подходит)

х приписали справа цифру 3, представить полученное число в виде

суммы, если х а)двузначное число б)трёхзначное число
2. К числу у приписали слева цифру 7, представить полученное число в виде суммы, если у а)двузначное число б)трёхзначное число

разложение на множители в виде разрядных слагаемых). Эти задачи не

просты в решении, поэтому к ним нужен особый подход. Может поэтому они мне очень понравились. Тем более эти задачи помогут при подготовке и проведении олимпиадных задач. В дальнейшем я хочу разобраться в решении задач со степенями

С.А. Теляковского