Решение систем уравнений

9

 
 
Автор: Ученик 9 «и» класса МБОУ «СОШ №7».

Мансуров Артур
 Руководитель: Ионга Ирина Николаевна,
  учитель математики,
  II квалификационная категория.

По страницам учебников А.Г. Мордковича «Алгебра

7 и 9 классов» проанализировать рассмотренные в них методы решения систем уравнений.

Исследовать некоторые способы решений систем уравнений за страницами учебника.

Показать своей работой, что решать системы уравнений очень просто.

А.Г. Мордковича «Алгебра -7»
проиллюстрировать примерами каждый способ.
расширить свои познания о

других способах решения систем линейных уравнений.
ввести понятие систем рациональных уравнений.
рассмотреть основные методы решения систем рациональных уравнений по учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра- 9».
проиллюстрировать теоретический материал удачными примерами.
рассмотреть новый вид – симметрические системы.
разобраться в методах решения этого вида.

Задачи работы:.

с
одной переменной

Линейное уравнение с
двумя переменными

Свойства уравнений
если в уравнении перенести слагаемое

из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному

Уравнение и его свойства

ax=b

ax+by=c

скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно
Каждая пара значений

переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Система уравнений и её решение

полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
Сделать

подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
Записать ответ: х=…; у=… .

2 – y,
3(2 –y)–2y–11= 0;
x = 2 – y,
3x –

2y – 11 = 0;

x = 2 – y,
6 –3y–2y–11= 0;

y = –1
x = 2 – (-1)

x = 3
y = -1

в каждом уравнении
Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных
Решить полученное уравнение

и найти значение одной переменной
Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение
Записать ответ: х=…; у=… .

системы
Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из

старых
Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
Записать ответ: х=…; у=… .

одной системе координат график каждого уравнения
Определить координаты точки пересечения
Записать ответ:

х=…; у=… , или (х; у)

график
второго уравнения
у=10 - х
Ответ: (3; 7)
4
3
7
4

определитель .
Найти - определитель x, получаемый из  заменой первого

столбца на столбец свободных членов.
Найти - определитель y, получаемый из  заменой второго столбца на столбец свободных членов.
Найти значение переменной х по формуле x / .
Найти значение переменной у по формуле y / .
Записать ответ: х=…; у=… .

из коэффициентов
при неизвестных 
= 4·5 - 7·4 = 20 –

28 = -8

= 30·5 - 7·90 = 150 – 630 = - 480

= 4·90 - 30·4 = 360 – 120 = 240

Составим определи-
тель x, заменив в определи-
теле  первый столбец
на столбец свободных
членов

x

х=



=

-480

-8

=

60;

у=

y



=

-8

= -30.

Найдем
х и у

Ответ: х=3; у= -10 или (3;-10)

Составим определи-
тель y, заменив в определителе  второй столбец
на столбец свободных
членов

называют уравнения вида р(х, у) = 0, где р(х, у)

– рациональное выражение.
Системы рациональных уравнений, изучаемые в 9-ом классе, так же можно решать выше предложенными способами.

уравнения системы находим два значения у : у, = 4

и у2 = -5 . Из первого уравнения, получим х1 = 5 , х2 = -4 .



Ответ: (5;4),(-4;-5).

Выразим

уравнениях системы новыми переменными так, чтобы вновь полученные уравнения стали

более простыми.
Реши полученную систему уравнений методом, наиболее подходящим для этой системы уравнений.
Сделай обратную замену, для того, чтобы найти значения первоначальных переменных.
Запиши ответ в виде пар значений (x,y), которые были найдены на третьем шаге.

Ответ: (1;0)
Обозначим и
получим
Решим
Получим

симметричных позициях, равны, то есть если an – 1 =

ak, при k = 0, 1, …, n.

она не меняется при перестановки неизвестных.
Симметрическая система двух уравнений с

двумя неизвестными х и у решается подстановкой
u = х + у , v = ху (Заметим, что встречающиеся выражения в симметрических системах выражаются через u и v).

=13,
х + у = 4

Пусть х + у =

u, ху = v.

u2 – v = 13,
u = 4

16 – v = 13,
u = 4

v = 3,
u = 4

х + у = 4,
ху = 3

х = 4 – у
ху = 3

х = 4 – у,
(4 – у) у = 3

х = 4 – у, x=4-y,
у1 = 3; у2 = 1

х1 = 1, х2 = 3,
у1 = 3, у2 = 1

Ответ: (1; 3); (3; 1).

МОУ «СОШ №7»
И.И.Н.

видами систем алгебраических уравнений.

обобщили научные сведения по теме «Системы

уравнений».

разобрались и научились решать системы рациональных уравнений способом введения новых переменных.

рассмотрели основную теорию, связанную с симметрическими системами уравнений.

научились решать симметрические системы уравнений.

(Большое спасибо!)

Заключение