Решение уравнений 3 и 4-ой степени с помощью теоремы Безу 9 класс

высшего образования Ханты-Мансийского автономного округа – Югры «Сургутский государственный педагогический университет» VIII Окружная

научная конференция школьников «НОВОЕ ПОКОЛЕНИЕ И ОБЩЕСТВО ЗНАНИЙ»

Решение уравнений 3 и 4-ой степени с помощью теоремы Безу

Автор: Крук Виктория, 9 б класс
МБОУ «Федоровская СО№ 5»,  
Научный руководитель: Ганина Татьяна Петровна, учитель математики
МБОУ «Федоровская СОШ № 5» 


Г.п.Федоровский
2018 год

Цель выяснить для каких уравнений 3и 4 степени можно применить теорему Безу и научиться их решать.

Задачи:
Ознакомиться с биографией Этьена Безу;
Проанализировать теорему и следствия из неё;
Показать конкретные примеры применения теоремы к решению уравнений;
Ознакомить одноклассников с решением уравнений высших степеней;
Создать подборку уравнений для практического применения.

помощью теоремы Безу.
В процессе выполнения

работы применялись такие методы исследования: изучение литературных и Интернет-ресурсов, сравнение, обобщение, аналогии, анализ информации. Гипотеза - если существует хотя бы один корень уравнения среди делителей свободного члена уравнения 3-ей и 4-ой степени, то при решении таких уравнений можно применять теорему Безу.

Этьен Безу - французский математик, член

Парижской Академии Наук (с 1758 года).
Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.
С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.
Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Колином Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.
Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шести томный “Курс математики “, который Безу писал пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.
Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры, о которой будет идти речь ниже.

xn-1+a2 xn-2+…+an-1 x+an= 0,
в котором все коэффициенты

целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

теорема имеет и другую трактовку.
Теорема. При делении

многочлена n-й степени относительно x на двучлен x – a остаток равен значению делимого при x = a (буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число).

сколько своими следствиями.
 
Следствие 1. Остаток от

деления многочлена f(x) на двучлен (ax+b) равен значению этого многочлена при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).
Следствие 2. Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.
Следствие 3. Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a1, a2 ,… ,an ,то он делится на произведение (x-a1)…(x-an) без остатка.
Следствие 4. Многочлен степени n имеет не более n различных корней.
Следствие 5. Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).
Следствие 6. Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.
Следствие 7. Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

практических задач.
1. Найти остаток от деления многочлена
x3–3x2+6x–5 на

двучлен x–2.
По теореме Безу:
R=f(2)=23–3*22+6*2–5=3.
Ответ: R=3.

двучлен x–2?
 
По теореме Безу:
R=f(2)=16+8a+12–8– 4=8a+16.
Но по условию R=0,
значит

8a+16=0, отсюда a=-2.
Ответ: a=-2.
 

на множители полезно помнить, что если число а является

корнем многочлена р(х), то p(x) делится на x-а, т. е. представляем в виде p(x)=( x-а)Q(x).
Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители (например разделить p(x) на x-а «уголком», получим в частном Q(x).
Любой целый корень многочлена с целым коэффициентами по теореме Безу является делителем свободного члена.

x4–x3

x3+x2+5x+5
x3+4x2
x3–x2
_5x2–5
5x2–5x
_5x–5
  5x–5
0
 f(x)/(x–1)=x3+x2+5x+5,
 значит f(x)=(x–1)(x3+x2+5x+5).

 

 
 

 


 
 
 

_x3+x2+5x+5 x+1
x3+x2 x2 +5
_5x+5
5x+5
0 
(x3+x2+5x+5)/(x+1)=x2+5, значит x3+x2+5x+5=(x+1)(x2+5).
Отсюда f(x)=(x–1)(x+1)(x2+5).
По следствию 7 (x2+5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.
Ответ: x4+4x2–5=(x–1)(x+1)(x2+5).

 

Среди делителей свободного члена многочлена x4+4x2–5 число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x–1) без остатка:

Среди делителей свободного члена многочлена x3+x2+5x+5 x= -1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x3+x2+5x+5 делится на (x+1) без остатка:

с помощью теоремы Безу необходимо:
найти все целые делители свободного члена;
из

этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);
левую часть уравнения разделить на (x-a);
записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;
решить полученное уравнение.

0
       
Делители 12: ±1: ±2: ±3: ±4:

±6: ±12
х = -1 – корень уравнения т.к. - 1 - 6 - 5 + 12 = 0
_х3 - 6х2 + 5х + 12 х +1
х3 + х2 х2 – 7х + 12
_ -7х2 + 5х
-7х2 – 7х
_ 12х + 12
12х +12
0
(х2 – 7х + 12)(х +1) = 0
х2 – 7х + 12 = 0 или х + 1 = 0
х1 + х2 = 7 х1 = 3 х = -1
х1 х2 = 12 х2 = 4
Ответ: х1 = 3; х2 = 4: х3 = -1.

3 – корень уравнения, т.к. 27-45+24-6=0
_x3-5x2+8x-6 x-3
x3-3x2

x2-2x+2
_ -2x2+8x
-2x2+6x
_2x-6
2x-6
0
x3-5x2+8x-6=(x2-2x+2)(x-3)
(x2-2x+2)(x-3)=0
x2-2x+2=0 – квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.
Ответ: x=3.

±15; ±30.
х = 2 – корень уравнения
_x4+3x3-13x2-9x+30

x–2
x4-2x3 x3+5x2-3x-15
_5x3-13x2 
5x3-10x2 
_-3x2-9x 
-3x2+6x 
_-15x+30 
-15x+30
0
 
Итак, (x-2)(x3+5x2-3x-15)=0

(x-2)(x3+5x2-3x-15)=0
Делители -15: ±1; ±3; ±5; ±15
 х=-5 – корень уравнения
_ x3+5x2-3x-15 х+5
x3+5x2 x2 -3
_ -3x-15 
-3x-15
0
 
 
(x-2)(x+5)(x2-3)=0

Ответ: x1=2, x2=-5, x3,4=

смогла выполнить поставленную перед собой цель работы, так как:
изучила

и описала алгоритм решения уравнений 3-4 степени с помощью теоремы Безу;
представила результаты исследования одноклассникам с целью знакомства решения уравнений 3-4 степени.
Итогом моей работы является образовательный продукт – создано пособие для учащихся на тему: «Решения уравнений 3-4 степени».

+ 2x-4=0
Решить уравнение x3 +6x2 + 11х+6=0
Решить уравнение x3 +x2

+ 3x-5=0
Решить уравнение x3 +2x2 -5x-6=0
Решить уравнение x3 +15x2 + 48x-64=0
Решить уравнение x3 +7x2 + 8x-16=0
Решить уравнение x4+4x3-7x2-34x-24=0.
Решить уравнение x4-4x3-19x2+106x-120=0
Решить уравнение x4-x3-32x2-12x+144=0.
Решить уравнение x6+x5-7x4-5x3+16x2+6x-2=0.

Виленкин Н.Я. и др. Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов

с углубленным изучением математики – М., Просвещение, 2007.
Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс – М., Просвещение, 2008. 4.
Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики – М., Просвещение, 2008.
Дорофеев Г.В. Многочлены с одной переменной / Г.В.Дорофеев /. Математика для школьников №3 – 2005.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М., Просвещение, 2006.
Мордкович А.Г. Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник – М., Мнемозина, 2006.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. Л.Ф.Пичурин – Москва: Просвещение, 1990.