СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Краснодара
Шеремета И.В.

на множестве Х, если для любых двух точек х1 и

х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство
f(х1) < f(х2).

Убывающая
Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух точек
х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство
f(х1) >f(х2).

x1

x2

f(x1)

f(x2)

х1

x2

f(x2)

f(x1)

Свойства функции

= f(х) на множестве Х, если:

в Х существует такая точка х0, что f(х0) = m.
для всех х из Х выполняется неравенство
f(х) ≥ f(х0).

Число M называют наибольшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
в Х существует такая точка х0, что f(х0) = M.
для всех х из Х выполняется неравенство
f(х) ≤ f(х0).

Свойства функции

промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

Задание: Определите,

на каком из рисунков изображен график непрерывной функции.

Свойства функции

1

2

подумай

правильно

множество Х таково, что (- х)  Х при любом

х  Х.

Четная функция

Нечетная функция

Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х  Х. Четная функция симметрична относительно оси ординат.

Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х  Х. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы

обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.


Функция выпукла вверх на промежутке Х, если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Свойства функции

если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа.
Функцию

у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа.

х

у

х

у

Свойства функции

функции
Выпуклость
Свойства функции

– линейная функция
у = kx2

– квадратичная функция
у = k/x – обратная пропорциональность
у =
у = | х |
у = ах2 + bх + с – квадратичная функция

Свойства функции

0)
D(f) = (-∞; +∞);
E(f) = (-∞; +∞);
ни четная, ни

нечетная;
возрастает при k > 0,
убывает при k < 0;
непрерывная
не ограничена ни снизу, ни сверху;
нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
y = 0, при
о выпуклости говорить не имеет смысла.

Свойства функции

k > 0

k < 0

k < 0
D(f) = (-∞, +∞);

Е(f) = (-∞, 0];
четная
убывает на луче [0,+∞),
возрастает на луче (-∞, 0];
непрерывна;
не ограничена снизу, ограничена сверху;
унаиб = 0, унаим не существует;
y = 0 при х = 0
выпукла вверх.

при k > 0
D(f) = (-∞, +∞);
E(f) = [0, +∞);
четная;
убывает на луче (-∞, 0],
возрастает на луче [0, +∞);
непрерывна;
ограничена снизу, не ограничена сверху;
унаиб не существует, унаим = 0;
y = 0 при х = 0
выпукла вниз.

Свойства функции у = kх2

Свойства функции

k > 0
D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞);

четная
убывает на луче (-∞,0) и на
луче (0,+∞);
нет ни наименьшего, ни
наибольшего значений;
непрерывна на луче (-∞,0) и
на луче (0,+∞);
выпукла вверх при х < 0 и
выпукла вниз при х > 0;
ограничена ни сверху при х < 0,
ограничена снизу при х > 0;
с осями координат не пересекается.

Свойства функции

Свойства функции

при k < 0
D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞);
четная
возрастает на луче (-∞,0) и на
луче (0,+∞);
нет ни наименьшего, ни
наибольшего значений;
непрерывна на луче (-∞,0) и
на луче (0,+∞);
выпукла вверх при х > 0 и
выпукла вниз при х < 0;
ограничена ни сверху при х >0,
ограничена снизу при х < 0;
с осями координат не пересекается.

+∞);
ни четная, ни нечетная;
возрастает на всей области определения;
непрерывна;
ограничена снизу;
унаим =

0, унаиб = не существует;
у = 0 при х = 0;
выпукла вверх.

Свойства функции

y

x

= [0, +∞);
четная;
убывает на луче (-∞,0], возрастает на луче [0,

+∞);
непрерывна;
ограничена снизу, не ограничена сверху;
унаим = 0, унаиб = не существует;
у = 0 при х = 0;
можно считать выпуклой вниз.

Свойства функции

ах2 + bх + с

при а > 0

D(f) = (-∞, +∞);
Е(f) = [у0 ; +∞)
убывает на луче ,

возрастает на луче ;
ограничена снизу;
унаим = у0, унаиб не существует;
непрерывна;
выпукла вниз;

Свойства функции

при а < 0

D(f) = (-∞, +∞);
Е(f) = (-∞; у0 ]
убывает на луче ,

возрастает на луче ;
ограничена сверху;
унаим не существует, унаиб = у0;
непрерывна;
выпукла вверх.