Задачи на производную

(-5;9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

функции (а не производной функции). Далее, отмечаем, что производная функции f(x)

равна 0 в точках максимума и минимума функции f(x), т.е. нам нужно найти количество экстремумов функции f(x) на заданном интервале. На языке графика это означает, что нам нужно посчитать количество "бугорков" функции, т.е.:




Получаем, что всего таких точек 9.
Ответ:9

нему в точке с абсциссой х0
. Найдите значение производной функции

f(x) в точке х0

Задача №2

касательной. Поэтому нам надо составить уравнение данной касательной и графику

и найти угловой коэффициент. В общем случае, уравнение касательной имеет вид: y = kx+b. В этом уравнении k и есть тот самый угловой коэффициент, который мы будет искать.
На рисунке жирными точками отмечены точки, через которые проходит наша касательная. Координаты этих точек: (-4; -2) и (-2; 5). Так как данная прямая проходит через эти точки, то подставим их координаты в уравнение касательной и найдем значение коэффициента k. y = kx+b

-2 = -4k+b (подставили точку с координатами (-4;-2));

5 = -2k+b (подставили точку с координатами (-2;5)).

Теперь вычитаем из первого уравнения второе:

-2 - 5 = -4k-(-2k);

-7 = -2k;

k = 7/2 = 3,5.

Получаем искомое значение k=3,5, что то же самое, что значение производной функции f(x) в точке x_0.



Ответ: 3,5.
.

y = kx+b
-2 = -4k+b (подставили точку с координатами (-4;-2));
5 = -2k+b (подставили точку с координатами (-2;5)).
Теперь вычитаем из первого уравнения второе:
-2 - 5 = -4k-(-2k);
-7 = -2k;
k = 7/2 = 3,5.
Получаем искомое значение k=3,5, что то же самое, что значение производной функции f(x) в точке      .
 
Ответ: 3,5.
 

функции f(x), определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка

[2;8] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Ox в некоторой точке, то функция f(x) в этой точке

имеет максимум или минимум. В данном случае график y = f'(x) перескает ось Ox в точке x=2. Так как при x<2 функция y = f'(x) <0 (это видно из графика), а при x>2 y = f'(x)>0 на рассматриваемом графике, то знак производной переходит с "-" на "+". А это означает, что x=2 - точка минимума. И т.к. x=2 принадлежит отрезку [2;8], то x=2 - искомая точка, в которой функция принимает наименьшее значение.


Ответ: 2.

Ответ

f(x), определенной на интервале от (-6;5). В какой точке отрезка

[-5;-1] функция f(x) принимает наибольшее значение?

на этом отрезке функция f(x) убывает. Если функция убывает на

заданном отрезке, то наибольшее значение она принимает в наименьшей точке отрезка, т.е. в точке -5.


Ответ: -5.

функции f(x), определенной на интервале от (-6;5). В какой точке

отрезка [-3;4] функция f(x) принимает наибольшее значение?.

принадлежит отрезку [-3;4] и является точкой экстремума функции f(x).
Ответ: -1.

Так

как график производной переходит в этой точке с "+" на "-", то это точка максимума, а значит наибольшее значение на отрезке [-3;4] функция f(x) принимает именно в этой точке.

отмечены восемь точек: x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8. В скольких из этих точек производная

функции f(x) отрицательна?
 

те точки, которые находятся на промежутках убывания функции - это

точки x2,x4,x6,x8. Всего 4 точки.

функции f(x), определенной на интервале от (-7;5). Найдите точку экстремума

функции f(x), принадлежащую отрезку [-6;4].

осью Ox. В данном случае x = -3. Эта точка

принадлежит отрезку [-6;4], значит, это и есть искомая точка.

Ответ: -3.

x1,x2,x3,x4,x5,x6 и x7 те точки, в которых производная функции f(x)

отрицательна? В ответе запишите количество найденных точек.

выбираем те точки, которые находятся на промежутках убывания функции -

это точки x1,x2,x4,x6,x7. Всего 5 точек.
Ответ
 

этому графику, проведенная в точке x0. Уравнение касательной показано на

рисунке. Найдите значение производной функции y=−1/4f(x)+5 в точке x0.
 

функции f(x) в точке x0
имеет вид: y = -2x+5, то

f′(x0)=−2.
Тогда искомая производная равна:
y' = −1/4⋅(−2)=0,5.
 
Ответ: 0,5.
 

функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек,

в которых касательная к графику функции f(x) перпендикулярна прямой y = -2x-11.

: y = kx+b.
Если эта касательная перпендикулярна прямой y =

-2x-11, то k = -1/-2 = 1/2.
Найдем на графике производной f'(x), в скольких точках, производная функции равна 1/2:

Получаем на интервале (-10;2) всего 3 точки. Значит, на данном интервале касательная к графику функции f(x) перпендикулярна прямой y = -2x-11 в 3 точках.
 
Ответ: 3.