АВ и AD в точках M и N соответственно.
а)
Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону ВС прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если АМ : МВ = 1 : 2?
26
Решение.
б) Пусть сторона квадрата = 3х, AN = y.
Тогда AM = x, и MN = P∆AMN – x – y =
= 3x – x – y = 2x – y.
Радиус вневписанной окружности OE:
Откуда y = 0,75x, DN = 3x – 0,75x = 2,25x.
∆AMN ~ ∆DPN (по углам) ⟹
АM : DР = AN : DN; x : DP = 0,75x : 2,25x,
DP = 3x, EP = 4,5x, CP = 6x.
∆OEP ~ ∆LCP (по углам) ⟹
OE : CL = EP : CP; 1,5x : CL = 4,5x : 6x,
CL = 2x, LB = 3x – 2x = x ⟹ CL : BL = 2 : 1.