Доверительный интервал и доверительная вероятность

(точки) измеряемой величины. Их значения являются случайными с некоторым распределением.

На практике мы всегда имеем дело с ограниченным числом измерений, и задача, которая всегда стоит перед оператором, состоит в том, как оценить точность измерений, т.е. найти его меру приближения к истинному значению на основании группы результатов наблюдения.

данные о надежности такой оценки. Особенно важно иметь сведения о

точности оценок для небольших выборок. Поэтому точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой — интервалом (θ1, θ 2), внутри которого с наперед заданной вероятностью γ находится точное значение оцениваемого параметра θ.

1 — γ, 0< α < 1, называемое уровнем значимости,

и находят два числа θ 1 и θ 2, зависящих от точечной оценки θ*, такие, что Р(θ 1< θ < θ 2) = 1- α = γ. (1) В этом случае говорят, что интервал (θ 1, θ 2) накрывает неизвестный параметр θ с вероятностью (1 - α), или в 100(1 - α)% случаев. Границы интервала θ 1 и θ 2 называются доверительными, и они обычно находятся из условия Р(θ < θ 1) = Р(θ > θ 2 ) = α/2 (рис. 1)

выборки п и надежности γ (уровня значимости γ= 1 -

α). При увеличении величины п длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности γ к единице — увеличивается. Выбор α (или γ = 1 - α) определяется конкретными условиями. Обычно используется α=0,1; 0,05; 0,01, что соответствует 90, 95, 99%-м доверительным интервалам.

распределением f(x, θ) случайной величины X извлекается выборка объема п,

по которой находится точечная оценка θ * параметра θ. 2. Строится случайная величина Y(θ), связанная с параметром θ и имеющая известную плотность вероятности f(у, θ). 3. Задается уровень значимости α. 4. Используя плотность вероятности случайной величины Y, определяют два числа с1 и с2 такие, что (2) Значения с1 и с2 выбираются как правило, из условий

связана с результатами выборки. Однако она позволяет сделать следующий вывод.

Если построен доверительный интервал, который с надежностью γ = 1 - α накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по К выборкам одинакового объема п, то в (1-α)К случаях построенные интервалы накроют истинное значение исследуемого параметра.

нормально распределенного признака, если известны: σ = 2;

= 5,4; n = 10; γ = 0,95. Решение. 2Ф(t) = 0,95, Ф(t) = 0,5*0,95=0,475. Найдя t = 1,96, получим Доверительный интервал

случайной величины при данном реальном комплексе условий.
Выборкой называют часть генеральной

совокупности, отобранную для изучения.
Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат, поэтому на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшого объема п<10-20. В этом случае используемый обычно метод построения интервальной оценки для генеральной средней и генеральной доли неприменим в силу двух обстоятельств:
1) необоснованным становится вывод о нормальном законе распределения выборочных средней и доли w, так как он основан на центральной предельной теореме при больших п;
2) необоснованной становится замена неизвестных генеральной дисперсии σ2 и доли р их точечными оценками (или ) или w, так как в силу закона больших чисел (состоятельности оценок) эта замена возможна лишь при больших п .

Генеральная совокупность.

математического ожидания и дисперсии, получим, что:

было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний

срок службы отобранных ламп равен 980 ч, а среднее квадратическое отклонение их срока службы — 18 ч. Необходимо определить: а) вероятность того, что средний срок службы ламп во всей партии отличается от среднего срока службы отобранных для испытаний ламп не более чем на 8 ч (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний срок службы ламп во всей партии.
Решение.
Имеем по условию п = 20, = 980(ч), S = 18 ч.
а) Зная предельную ошибку малой выборки = 8 (ч), найдем из соотношения (9):



Теперь искомая доверительная вероятность
, а находится по таблице значений при числе степеней свободы = 16.
Итак, вероятность того, что расхождение средних сроков службы электроламп в выборке и во всей партии не превысит 8 ч (по абсолютной величине), равна 0,906.

где

– фактическое число элементов выборки, обладающих признаком.

6 из них будут поддерживать действующего мэра на предстоящих выборах.

Найти границы, в которых с надёжностью 0,9 заключена доля граждан города, которые будут поддерживать на предстоящих выборах действующего мэра.
Решение.
Выборочная доля жителей, поддерживающих мэра, w = т/п = 6/15 = 0,4 . По рисунку 3 для γ = 0,9 находим при w = 0,4 и для п = 15 по нижнему графику p1=0,23, а по верхнему — р2 = 0,60, т.е. доля жителей города, поддерживающих мэра, с надёжностью 0,9 заключена в границах от 0,23 до 0,60. Очевидно, что более точный ответ на вопрос задачи может быть получен при увеличении объёма выборки п.

в метрологии.
Провести бесконечное число измерений для получения верного результата

в реальной жизни невозможно, поэтому важно дать объективное представление результатов ограниченного числа измерений, чему и призван помочь изучаемый подход.
Цель любого оценивания состоит в получении наиболее точного значения исследуемой характеристики. Доверительный интервал позволяет с определенной точностью получить распределение параметра, что дает хорошее представление об исследуемом объекте.

Заключение