§ 1. Степенные ряды

вида

называется степенным рядом с базисной
точкой

z0.
При этом {an} – последовательность констант,
z – переменная, z0 – постоянная, z - z0 = х , то

Определение. Функциональный ряд

называется степенным с базисной точкой в нуле.

, где an – действительные числа, x – действительная переменная,

таков что: 1) сходится в точке x0, то он абсолютно сходится для x < x0; 2) расходится в точке x0, то он расходится для x > x0; Доказательство. (Самостоятельно)

действительное число R: 0  R  +, такое что x

< R ряд сходится, x > R – расходится, то R называют радиусом сходимости степенного ряда.
Определение (интервала сходимости степенного ряда). Если R – радиус сходимости

степенного ряда , то интервалом

сходимости данного степенного ряда называется множество точек –R < x < R.

существует единственный радиус сходимости R, который можно найти по

одной из формул:

или Без
доказательства.
Замечание 1. Если имеется два степенных ряда

и , то радиусы сходимости

этих рядов одинаковы, несмотря на то, что базисные точки – разные.

, то интервал сходимости

– это множество точек –R < x < R. Для ряда
радиус сходимости будет тот же, а интервал сходимости изменится, он будет –R < x – x0 < R, или x0 – R < x < R + x0.
Замечание 3. Так как степенной ряд может сходиться на концах интервала сходимости, т.е. при x =  R, то после исследования степенного ряда на сходимость в этих точках, концы интервала сходимости присоединяют к интервалу сходимости, если степенной ряд сходится в этих точках.

степенной ряд
равномерно сходится на любом отрезке
[-r ; r], содержащемся внутри

интервала сходимости (-R ; R).
Доказательство. (Самостоятельно)

Теорема 2. (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда
непрерывна на любом отрезке [-r ; r], содержащемся в (-R ; R).
Доказательство. (Самостоятельно)

имеет радиус

сходимости R,

то ряды и

имеют тот же радиус сходимости R.

Без доказательства.

на произвольном

отрезке [-r

; r]  (-R ; R) можно:
1) Почленно дифференцировать. При этом:



2) Почленно интегрировать. При этом:



Без доказательства.

точки x0 и самой точке. Степенной ряд вида

(1)

сопоставленный функции

f (x) называется рядом Тейлора.

§ 2. Ряды Тейлора. Условия разложимости в ряд Тейлора.

Маклорена, сопоставленный функции f (x) в точке 0.
Для радов Тейлора

возможны три случая:
1) Ряд (1) расходится в точке x0.
2) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, но

причем функция, которой сопоставлен ряд, совпадает с суммой ряда Тейлора:

Только в третьем случае говорят, что функция f (x) разложима в ряд Тейлора (1).
Во всех остальных случаях функции f (x) сопоставлен ряд Тейлора:

функция
f (x) определена и бесконечное число раз дифференцируема в

точке x0 и ее окрестности. Для того, чтобы f (x) была разложима в ряд Тейлора в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора  0 при n  , т.е. rn(x)  0 при n  .
Доказательство. (Самостоятельно)
Замечание: Не путать остаточный член формулы Тейлора rn(x) с остатком ряда Rn(x), т.к. это ряд:

(x) определена в точке x0 и ее окрестности, такова что:
1)

бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности;
2) все производные f (x) ограничены в совокупности в окрестности точки x0, т.е.  M > 0 для  x  окрестности точки x0, f (n)(x) < M,
M = 0,1,2,… . Тогда f (x) разложима в ряд Тейлора в этой точке.

Доказательство. (Самостоятельно)

ряд вида


на  [a, b]  (x0 – R;

R + x0) является рядом Тейлора для своей суммы.

Доказательство. (Самостоятельно)

§ 3. Связь степенных рядов и рядов Тейлора.

(x) разложима в

степенной ряд

, то это разложение

единственно на интервале сходимости.
Доказательство.
Пусть функция f (x) имеет два разложения:


По предыдущей теореме на интервале сходимости любой степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы на интервале сходимости, т.е.

Находят все производные функции в точке x0.
f (n)(x), n =

0,1,2,…
2. Сопоставляют функции f (x) ряд Тейлора:

§ 4. Разложение функций в ряд Тейлора.

исследуют саму функцию и все ее производные на ограниченность в

совокупности.
Если ограничение в совокупности имеет место, то пишут, что


по достаточному условию разложимости в ряд Тейлора.

разложению в ряд Маклорена используют замену переменных.
Рассмотрим разложение функции ех

в ряд Маклорена.
ех определена  х  R.
(ех)(n) = ех, n = 0,1,2,…
f (0) = e0 = 1


Радиус сходимости степенного ряда:

некоторое число > 0. Следовательно, на любом отрезке [-h ;

h]  множеству действи-тельных чисел  (ех)(h) < eh  n, n = 0,1,2,…
Следовательно, ограниченность в совокупности имеет место. Значит:



 х  R.

– 2), т.е. в точке x0 = 2.
Рассмотрим: ех =

ех-2+2 = е2ех-2.
Произведем замену: u = x – 2 в точке x0 = 2, u0 = 0.
Разложение в ряд Маклорена имеет вид:

- сходится  u  R.


Тогда: - сходится  х  R.

На практике используют разложения:

< x < 

Приложения степенных рядов.

sinmx, cosmx, m = 1,2,…
Определение (ортогональности). Система функций {fn(x)},

n = 1,2,… интегрируемая на [a,b] называется ортогональной на [a,b], если:

[- ; ] (доказать самостоятельно).
§ 2. Понятие ряда Фурье. Связь

тригонометрических рядов и рядов Фурье. Условия разложимости в ряд Фурье.
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что функция f (x) такова, что:
1) определена  x  R и 2 - периодична;
2) на периоде имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода (с конечным скачком);
3) в точках разрыва первого рода значения функции равны полусуммам односторонних

первого рода, то:



Функциональный ряд вида



называется тригонометрическим рядом. Среди тригонометрических

рядов важное значение имеют ряды Фурье.

f (x), при этом пишут, что:



если коэффициенты этого ряда вычисляются

по формулам:

быть следующие возможности:
расходится для  x  R;
2) сходится для

 x  R, но не к функции f (x);
3) сходится для  x  R, причем к функции f (x).

ряд Фурье и пишут:



Теорема (о связи тригонометрических рядов и рядов

Фурье). Всякий тригонометрический ряд


сопоставленный функции f (x), равномерно сходящийся для  x  R является рядом Фурье этой функции.
Доказательство. (Самостоятельно)

f (x) раскладывается в ряд Фурье, то это разложение единственно.
Без

доказательства.
Теорема (об оценке коэффициентов ряда Фурье). Если функция f (x) такова что:
1) разложима в ряд Фурье;
2) непрерывна для  x  R и 2 периодична
3) все производные этой функции до k-того порядка включительно ограничены, т.е.
f (m)(x) < M, m = 0,1,2,…, k, x  R.
Тогда для коэффициентов ряда Фурье справедлива