{ ЛЕКЦИЯ 5 } { Алгоритмы на графах }

Задача о максимальном потоке.

вершин и рёбер.
Задача о семи кёнигсбергских мостах: обойти все мосты

пройдя по каждому один раз
(1736 г., Леонард Эйлер)

Граф без петель и кратных рёбер называется простым.
Степень вершины – количество инцидентных (присоединённых) ей рёбер.
Подграф – это граф в котором множество вершин и рёбер являются подмножествами соответствующих множеств исходного графа.
Цикл Эйлера – неповторяющийся обход всех рёбер.
Задача о кёнигсбергских мостах не имеет решения, т.к.:
5-2 + 3-2 + 3-2 + 3-2 – больше 2-х нечётных вершин.
Маршрут – последовательность вершин и рёбер.
Компонента связности - максимальный (по включению) связный подграф.

5

3

3

3

Дерево - это связный ациклический граф (число вершин = число рёбер + 1).
Корневое дерево – дерево в котором одна из вершин – корень.
Остовное дерево (остов) — это подграф данного графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом.
Взвешенной граф – граф в котором каждому ребру приписано значение (вес).

список, так как для них доступны операции pop и push.
Stack

(стек)
LIFO (Last in, first out)
Последним пришел, первым вышел

Queue (очередь)
FIFO (First in, first out)
Первым пришел, первым вышел

Основные операции со стеком это:
Push – вставка элемента наверх стека;
Top – получение верхнего элемента без удаления;
Pop – получение верхнего элемента и его удаление;
Проверка пуст ли стек.
Основные операции с очередью это:
добавить элемент в конец очереди;
получить элемент из начала очереди (без удаления из очереди);
получить элемент из начала очереди (с удалением из очереди);
проверка пустая ли очередь.

list(range(1,22,3))
print(queue)
i=0
%%time
x = queue[i]
i+=1
Не эффективно по времени
Не эффективно по памяти

куда, стоимость}:
Графически
Матрицей смежности

вершины графа по одному разу, начиная с некоторой. Это делается

с помощью обходов в глубину или в ширину.
Основная идея обходов:
на каждом шаге рассмотреть очередную необработанную вершину;
пометить эту вершину некоторым образом;
до/после обработки данной вершины осуществить обход из всех нерассмотренных соседей.
Для упорядочивания вершин используется очередь (обход в ширину) или стек (обход в глубину).

Поиск в глубину

Поиск в ширину

компонент связности (подсчёт компонент);
поиск простого цикла.
Поиск в ширину можно использовать

для:
выделение компонент связности (подсчёт компонент);
поиск кратчайшего пути в невзвешенном графе;
восстановление кратчайшего пути;
нахождение кратчайшего цикла в ориентированном невзвешенном графе.

между клетками d4 и f2?
Сведем задачу к графу, пройдем его

в ширину и восстановим кратчайший путь.

вершины графа до всех остальных:
поиск кратчайшего географического пути.
поиск гипотезы наименьшего

веса (наибольшей вероятности) в задачах вычислительной лингвистики.
поиск слова наименьшего веса, принимаемого конечным автоматом и т.д.
В случае рёбер стоимости 1 это делает алгоритм поиска в ширину, используя очередь.
В случае рёбер произвольной длины это делает алгоритм Дейкстры.

Алгоритм:
присвоить всем вершинам метку ∞;
среди нерассмотренных вершин найти вершину j с наименьшей меткой;
для каждой необработанной вершины i: если путь к вершине i через вершину j меньше существующей метки, заменить метку на новое расстояние;
если остались необработанны вершины, перейти к шагу 2;
метка = минимальное расстояние.

уже рассмотрена, и a[i]=0, если нет.
массив b, такой что b[i]

– длина текущего кратчайшего пути из заданной вершины x в вершину i;
массив c, такой что c[i] – номер вершины, из которой нужно идти в вершину i в текущем кратчайшем пути.
Инициализация:
заполнить массив a нулями (вершины не обработаны);
записать в b[i] значение W[x][i];
заполнить массив c значением x;
записать a[x]=1.
Основной цикл:
если все вершины рассмотрены, то стоп.
среди всех нерассмотренных вершин (a[i]=0) найти вершину j, для которой b[i] – минимальное;
записать a[j]=1;
для всех вершин k: если путь в вершину k через вершину j короче, чем найденный ранее кратчайший путь, запомнить его: записать b[k]=b[j]+W[j][k] и c[k]=j.