Разделы презентаций


Численные методы решения дифференциальных уравнений презентация, доклад

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:соотношение часто удается записать в виде:Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. Значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке (x,y). Функцию

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Численные методы решения дифференциальных уравнений
Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения,

устанавливающего связь между независимой переменной x неизвестной функцией y и

ее производными y’,y”,…,y(n), может мыть представлен следующим образом:


Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Решение дифференциального уравнения (интегрированием) является некоторая функциональная зависимость y=y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения записывается в виде: y=y(x,c1,c2,…,cn), где c1,c2,…,cn произвольные постоянные.

Решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях, называется частным решением уравнения. Постоянные c1,c2,…,cn можно определить, задав n условий. Если эти условия заданы как совокупность значений искомой функции и всех ее производных до (n-1)ого порядка включительно в некоторой течке x0, то задача решения уравнения называется задачей Коши, а заданные условия: y(x0)=y0, y’(x0)=y’0, y”(x0)=y”0,…, yn-1(x0)=yn-10 называются начальными условия.

Если же условия заданы при нескольких значениях x, то задача решения дифференциального уравнения будет называться граничной или краевой задачей.

Численные методы решения дифференциальных уравнений Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения, устанавливающего связь между независимой переменной x неизвестной

Слайд 2Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

соотношение часто удается записать в виде:

Последнее

уравнение называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. Значение производной равно

тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке (x,y). Функцию f(x,y) будем называть правой частью дифференциального уравнения.

Общим решением уравнения будет являться семейство функций y=y(x,c1) различающихся значение постоянной c1. Задаем одно начальное условие y(x0)=y0, которое определяет значение c1и конкретное частное решение – задача Коши.

Для простейшего дифференциального уравнения y’=3x2. Общее решение имеет вид y=x3+c, а подставив в общее решение начальное условие x0=1, y0=2 вычислим с=1 и определим частное решение как: y=x3+1

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:соотношение часто удается записать в виде:Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной.

Слайд 3Метод Эйлера
Дано дифференциальное уравнение y’=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 .

Требуется найти решение на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок интегрирования на

n равных частей: x0=a, x1= a+h, x2=x1+h,…,xi=xi–1+h,…,xn=b, тогда величина шага интегрирования будет равна:
Метод ЭйлераДано дифференциальное уравнение y’=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 . Требуется найти решение на отрезке [a,b]. Разобьем

Слайд 4
Значение функции y1 в точке x1 можно определить как точку

пересечения касательной проведенной к функции y=y(x) в точке (x0,y0) с

вертикальной прямой проходящей через точку x1.

Тангенс угла наклона касательной есть значение производной в точке (x0,y0) и задается правой частью дифференциального уравнения, т.е. tg( β)=f(x0,y0). С другой стороны из геометрического представления метода можно записать:

Следовательно

Откуда

и т.д.

Решение будет заключаться в последовательном применении формул:

где i = 1, 2, 3, …, n

Результат будет представлен функцией заданной таблицей.

Значение функции y1 в точке x1 можно определить как точку пересечения касательной проведенной к функции y=y(x) в

Слайд 5Пример

y1 = -2+0.5*(-(-2/1)) = -1 x1 = 1+0.5 =1.5

y2

= -1+0.5*(-(-1/1.5)) = -0.667 x2 = 1.5+0.5 =2

и т.д.

Примерy1 = -2+0.5*(-(-2/1)) = -1  x1 = 1+0.5 =1.5y2 = -1+0.5*(-(-1/1.5)) = -0.667 x2 = 1.5+0.5

Слайд 6Модифицированный метод Эйлера
Графическая интерпретация.
Определяем точку
и вычисляем значение функции

в этой точке
Значение функции y1 в точке x1 определяем,

как точку пересечения касательной, вычисленной в точке (x1/2,y1/2) и проведенной к функции y=y(x) в точке (x0,y0) , с вертикальной прямой проходящей через точку x1.
Модифицированный метод ЭйлераГрафическая интерпретация. Определяем точку и вычисляем значение функции в этой точке Значение функции y1 в

Слайд 7
произвольную точку определим

где i = 1, 2, 3, …,

n
Пример
y1/2 = -2+0.25*(-(-2/1)) = -1.5; x1/2 = 1+0.25 =

1.25

y1 = -2+0.5*(-(-1.5/1.25)) = -1.4; x1 = 1+0.5 = 1.5

y3/2 = -1.4 +0.25*(-(-1.4/1.5)) = -1.1667; x3/2 = 1.5+0.25 = 1.75

y2 = -1.4 +0.5*(-(-1.1667/1.75)) = -1.0667; y2 = 1.5+0.5 = 2
и т.д.
произвольную точку определим где i = 1, 2, 3, …, n Примерy1/2 = -2+0.25*(-(-2/1)) = -1.5; x1/2

Слайд 9y(i)=euler(x(i-1),y(i-1),h)
x(i):=x(i-1)+h
h:=(xn-x0)/n
x(1):=x0; y(1):=y0
i=0
i=2 step 1 to n+1
x0,y0,xn,n
Begin
End
euler(x,y,h)
dfdx(x,y)
function y=m_euler(x,y,h)
y=y+h*dfdx(x+h/2,y+h/2*dfdx(x,y))
End
dfdx(x,y)
function y=rungekutt(x,y,h)
k0:=dfdx(x,y)
k1:=dfdx(x+h/2,y+h*k0/2)
k2:=dfdx(x+h/2,y+h*k1/2)
k3:=dfdx(x+h,y+h*k2)
y=y+h/6*(k0+2*k1+2*k2+k3)
End
function f=dfdx(x,y)
dfdx

= 2 * (x ^ 2 + y)
End
plot(x,y)

y(i)=euler(x(i-1),y(i-1),h)x(i):=x(i-1)+hh:=(xn-x0)/nx(1):=x0; y(1):=y0i=0i=2 step 1 to n+1 x0,y0,xn,nBeginEndeuler(x,y,h)dfdx(x,y)function y=m_euler(x,y,h)y=y+h*dfdx(x+h/2,y+h/2*dfdx(x,y))Enddfdx(x,y)function y=rungekutt(x,y,h)k0:=dfdx(x,y)k1:=dfdx(x+h/2,y+h*k0/2)k2:=dfdx(x+h/2,y+h*k1/2)k3:=dfdx(x+h,y+h*k2)y=y+h/6*(k0+2*k1+2*k2+k3)Endfunction f=dfdx(x,y)dfdx = 2 * (x ^ 2 +

Слайд 10Аналитический вывод формул
Необходимо найти значения функции y(x) в заданных точках

x1, x2,… xn, если известны начальные значения (x0, y0 ),

где  y0=y(x0) . Преобразуем уравнение  

Проинтегрируем левую и правую части уравнения между xi и xi+1 точкой 

Интегрируем методом трапеций 

Интегрируем методом прямоугольники вперед 

Интегрируем методом в среднем 

Аналитический вывод формулНеобходимо найти значения функции y(x) в заданных точках x1, x2,… xn, если известны начальные значения

Слайд 11где x — независимая переменная, а y1(x), y2(x), ..., yn(x)

— неизвестные функции, n — порядок системы.
Решением системы называется

вектор-функция , которая определена и непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и удовлетворяет системе, т.е. для всех

справедливо

Система дифференциальных уравнений

Обозначив

или

Приводим к системе дифференциальных уравнений

дифференциальные уравнения n-ого порядка

где x — независимая переменная, а y1(x), y2(x), ..., yn(x) — неизвестные функции, n — порядок системы.

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика