Разделы презентаций

Гипербола и её каноническое уравнение

Содержание

4. Гипербола и её каноническое уравнение

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ТЕМА: Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.

ТЕМА: Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.

Слайд 24. Гипербола и её каноническое уравнение

4. Гипербола и её каноническое уравнение

Слайд 34. Гипербола и её каноническое уравнение
Гиперболой называется геометрическое место точек,

для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух

фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2a меньшее, чем расстояние 2c между фокусами.
4. Гипербола и её каноническое уравнениеГиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности

Слайд 6


F1
F2
M

F1 F2 M

Слайд 7По определению |F1М - F2 М | = 2a

2c

По определению |F1М - F2 М | = 2a < 2c

Слайд 8По определению |F1М - F2 М | = 2a

2c
|F1 F2 | = 2c

По определению |F1М - F2 М | = 2a < 2c |F1 F2 | = 2c

Слайд 9Для вывода канонического уравнения гиперболы

Для вывода канонического уравнения гиперболы

Слайд 10Для вывода канонического уравнения гиперболы
зададим на плоскости прямоугольную систему

координат таким образом,

Для вывода канонического уравнения гиперболы зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом,

Слайд 11Для вывода канонического уравнения гиперболы
зададим на плоскости прямоугольную систему

координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала с отрезком F1F2

и была ориентирована от точки F1 к F2.
Для вывода канонического уравнения гиперболы зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала

Слайд 12Для вывода канонического уравнения гиперболы
зададим на плоскости прямоугольную систему координат

таким образом, чтобы ось Ox совпадала с отрезком F1F2 и

была ориентирована от точки F1 к F2.

x

Для вывода канонического уравнения гиперболызададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала с

Слайд 13Для вывода канонического уравнения эллипса
зададим на плоскости прямоугольную систему

координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала с отрезком F1F2

и была ориентирована от точки F1 к F2.
За начало координат примем середину отрезка F1F2.

x

Для вывода канонического уравнения эллипса зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала

Слайд 14Для вывода канонического уравнения эллипса
зададим на плоскости прямоугольную систему

координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала с отрезком F1F2

и была ориентирована от точки F1 к F2.
За начало координат примем середину отрезка F1F2.

x




F1

F2

M


О

Для вывода канонического уравнения эллипса зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала

Слайд 15Для вывода канонического уравнения эллипса
зададим на плоскости прямоугольную систему

координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала с отрезком F1F2

и была ориентирована от точки F1 к F2.
За начало координат примем середину отрезка F1F2.

x




F1

F2

M


О

y

Для вывода канонического уравнения эллипса зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ox совпадала

Слайд 16Так как |F1 F2 | = 2c,

Так как |F1 F2 | = 2c,

Слайд 17Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной

системе координат фокусы имеют координаты

Так как |F1 F2 | = 2c, значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты

Слайд 18Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

(с; 0)
Так как |F1 F2 | = 2c, значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1

Слайд 19Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

(с; 0) произвольная точка M(x,y), тогда
Так как |F1 F2 | = 2c, значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1

Слайд 20Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

(с; 0) произвольная точка M(x,y), тогда


Так как |F1 F2 | = 2c, значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1

Слайд 21По определению |F1М - F2 М | = 2a (1)
Получим

По определению |F1М - F2 М | = 2a (1)Получим

Слайд 22По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим

По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим

Слайд 23По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем

По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 24По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем

По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 25По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат

По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 26По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат


По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 27По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим избавимся

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат




По определению |F1М - F2М | = 2a (1) Получим избавимся от модуля и преобразуем

Слайд 29

Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат




Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат

Слайд 30

Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат




Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат

Слайд 31

Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат




Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат

Слайд 32

Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат




Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат

Слайд 34

Так как по определению a < c, обозначим











Так как по определению a < c, обозначим

Слайд 35

Так как по определению a < c, обозначим










Так как по определению a < c, обозначим

Слайд 36

Так как по определению a < c, обозначим

получим выражение









Так как по определению a < c, обозначимполучим выражение

Слайд 37

Так как по определению a < c, обозначим

получим выражение

разделим его

на получим









Так как по определению a < c, обозначимполучим выражениеразделим его на

Слайд 38

Так как по определению a < c, обозначим

получим выражение

разделим его

на получим









Так как по определению a < c, обозначимполучим выражениеразделим его на

Слайд 39

Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению

(2)







Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (2)

Слайд 40

Докажем обратное: если координаты некоторой точки М(x,y) удовлетворяют уравнению (2),

то для этой точки выполнятся равенство |F1М - F2 М

| = 2a (1)








Докажем обратное: если координаты некоторой точки М(x,y) удовлетворяют уравнению (2), то для этой точки выполнятся равенство |F1М

Слайд 41Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим

:

подставим

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим :подставим

Слайд 42Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим

:

подставим

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда выразим :подставим

Слайд 43
Так как

,

Так как ,

Слайд 44
Так как

, значит

Так как , значит

Слайд 45
Так как

, значит

После замены получим




Так как , значитПосле замены получим

Слайд 46
Так как

, значит

После замены получим




Так как , значитПосле замены получим

Слайд 47
Так как

, значит

После замены получим




аналогично

Так как , значитПосле замены получиманалогично

Слайд 48
Так как

, значит

После замены получим




аналогично

Так как , значитПосле замены получиманалогично

Слайд 49Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы

Слайд 50Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы

Слайд 51Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 52Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если ,
Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 53Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 54Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 55Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Если
Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 56Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Если или
Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 57Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболы


Из уравнения

следует, что

Если , то в силу соотношения

будем иметь

Если или , то
Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами гиперболыИз уравнения

Слайд 58Таким образом, получаем

если

Таким образом, получаем если

Слайд 59Таким образом, получаем

если

если



Таким образом, получаем если

Слайд 60Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство

Таким образом, получаем если

Слайд 61Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
Таким образом, получаем если

Слайд 62Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
если
Таким образом, получаем если

Слайд 63Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
если выполняется


Таким образом, получаем если

Слайд 64Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
если выполняется

если , то
Таким образом, получаем если

Слайд 65Таким образом, получаем

если

если


Подставим в равенство
(|F1М - F2 М | = 2a)
если выполняется

если , то
Таким образом, получаем если

Слайд 66Таким образом, уравнение (2) есть уравнение гиперболы, т.к. доказано, что

координаты любой точки M (x; y) гиперболы, т.е. любой точки,

для которой выполняется выражение (1) удовлетворяет уравнению (2) и обратно, если два числа x и y удовлетворяет уравнению (2), то точка M (x; y) удовлетворяет соотношению (1), т.е. лежит на гиперболе.
Таким образом, уравнение (2) есть уравнение гиперболы, т.к. доказано, что координаты любой точки M (x; y) гиперболы,

Слайд 67каноническое уравнение гиперболы

каноническое уравнение гиперболы

Слайд 685. Исследование формы гиперболы

5. Исследование формы гиперболы

Слайд 69 5. Исследование формы гиперболы
Т.к. в каноническое уравнение гиперболы координаты x

и y входят во второй степени

5. Исследование формы гиперболыТ.к. в каноническое уравнение гиперболы координаты x и y входят во второй степени

Слайд 70 5. Исследование формы гиперболы

Т.к. в каноническое уравнение гиперболы координаты x

и y входят во второй степени => оси Ox и

Oy являются осями симметрии гиперболы, а начало координат центром симметрии.
5. Исследование формы гиперболыТ.к. в каноническое уравнение гиперболы координаты x и y входят во второй степени =>

Слайд 71 5. Исследование формы гиперболы


Из уравнения => что

,т.е. и

Геометрически это означает, что между прямыми x=a и x=-a нет точек гиперболы.

5. Исследование формы гиперболы Из уравнения

Слайд 72 5. Исследование формы гиперболы


Из уравнения => что

,т.е. и

Геометрически это означает, что между прямыми x=a и x=-a нет точек гиперболы.
Ось симметрии Oy не пересекает гиперболу и называется мнимой осью.
5. Исследование формы гиперболы Из уравнения

Слайд 73 5. Исследование формы гиперболы


Ось симметрии Ox пересекает гиперболу

в двух точках A1(-a;0) A2(a;0) – вершины гиперболы и называется действительной осью.

5. Исследование формы гиперболы Ось симметрии

Слайд 74 5. Исследование формы гиперболы


Ось симметрии Ox пересекает гиперболу

в двух точках A1(-a;0) A2(a;0) – вершины гиперболы и называется действительной осью.
a и b в уравнении гиперболы называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.
5. Исследование формы гиперболы Ось симметрии

Слайд 75 5. Исследование формы гиперболы


Выразим y из уравнения гиперболы

и возьмем положительное значение


5. Исследование формы гиперболы Выразим y

Слайд 76 5. Исследование формы гиперболы


Выразим y из уравнения гиперболы

и возьмем положительное значение
считая, что получим точки гиперболы, лежащие в I четверти.



5. Исследование формы гиперболы Выразим y

Слайд 77 5. Исследование формы гиперболы


Выразим y из уравнения гиперболы

и возьмем положительное значение
считая, что получим точки гиперболы, лежащие в I четверти.
Из уравнения (3) => что y в полуинтервале есть возрастающая функция при этом предел



5. Исследование формы гиперболы Выразим y

Слайд 78 5. Исследование формы гиперболы


Выразим y из уравнения гиперболы

и возьмем положительное значение
считая, что получим точки гиперболы, лежащие в I четверти.
Из уравнения (3) => что y в полуинтервале есть возрастающая функция при этом предел



5. Исследование формы гиперболы Выразим y

Слайд 79 5. Исследование формы гиперболы


Выразим y из уравнения гиперболы

и возьмем положительное значение
считая, что получим точки гиперболы, лежащие в I четверти.
Из уравнения (3) => что y в полуинтервале есть возрастающая функция при этом предел



5. Исследование формы гиперболы Выразим y

Слайд 80 5. Исследование формы гиперболы


Всякая прямая пересекает гиперболу не

более чем в двух точках, так как прямая определяется уравнением I степени, а гипербола - II



5. Исследование формы гиперболы Всякая прямая

Слайд 81 5. Исследование формы гиперболы


Рассмотрим уравнение прямой

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на дуге гиперболы, определенной уравнением (3), до прямой (4):






5. Исследование формы гиперболы Рассмотрим уравнение

Слайд 82 5. Исследование формы гиперболы


Рассмотрим уравнение прямой

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на дуге гиперболы, определенной уравнением (3), до прямой (4):







5. Исследование формы гиперболы Рассмотрим уравнение

Слайд 83 5. Исследование формы гиперболы


Получили, что на полуинтервале

расстояние d от точки M(x,y) рассматриваемой части гиперболы до прямой (4) есть убывающая функция и
(т.е. расстояние стремиться к 0)







5. Исследование формы гиперболы Получили, что

Слайд 84 5. Исследование формы гиперболы


Получили, что на полуинтервале

расстояние d от точки M(x,y) рассматриваемой части гиперболы до прямой (4) есть убывающая функция и
(т.е. расстояние стремиться к 0)

Прямая, определяемая уравнением называется асимптотой гиперболы.







5. Исследование формы гиперболы Получили, что

Слайд 90В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно

начала координат, расстояние от точки М(x;y), лежащей на дуге гиперболы,

заданой

уравнением

до прямой
стремится к нулю при

В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно начала координат, расстояние от точки М(x;y), лежащей

Слайд 91Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно оси Оy,

то она имеет вторую асимптоту
которая обладает свойством аналогичным свойству первой

асимптоты по отношению к дугам гиперболы, расположенной в II и IV четвертях .
Асимптоты являются диагоналями прямоугольника с вершинами Р(а;b), Q(-a;b), S(a;-b), K(-a;-b).



Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно оси Оy, то она имеет вторую асимптотукоторая обладает свойством

Слайд 92


x=-a
A1
A2
F1
F2
M
x
y
x=a

x=-aA1A2F1F2Mxyx=a

Слайд 93


P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y
x=-a
x=a
y=-b
y=b

PQSKA1A2F1F2Mxyx=-ax=ay=-by=b

Слайд 94


P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y

PQSKA1A2F1F2Mxy

Слайд 95


P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y

PQSKA1A2F1F2Mxy

Слайд 96



P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y

PQSKA1A2F1F2Mxy

Слайд 97



P
Q
S
K
A1
A2
F1
F2
M
x
y

PQSKA1A2F1F2Mxy

Слайд 98



A1
A2
F1
F2
M
x
y

A1A2F1F2Mxy

Слайд 99Гипербола, у которой полуоси равны, называется равносторонней



Уравнения её асимптот

Гипербола, у которой полуоси равны, называется равностороннейУравнения её асимптот

Слайд 1006. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

Слайд 1016. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
Отношение расстояния от центра гиперболы

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

обозначается буквой е
6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется

Слайд 1026. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
Отношение расстояния от центра гиперболы

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

обозначается буквой е




6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется

Слайд 1036. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
Отношение расстояния от центра гиперболы

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

обозначается буквой е


Так как для гиперболы 0 < а < с, то е >1


6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется

Слайд 104Перепишем формулы для фокальных радиусов

если

если



Перепишем формулы для фокальных радиусов если

Слайд 105Перепишем формулы для фокальных радиусов

если

если


Эти четыре формулы можно объединить:

где

Перепишем формулы для фокальных радиусов если

Слайд 106Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра

гиперболы на расстояние а/е (где a – действительная полуось, е

– эксцентриситет гиперболы), называются директрисами гиперболы
Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра гиперболы на расстояние а/е (где a –

Слайд 107Для гиперболы, заданной каноническим уравнением

уравнения директрис имеют вид





Для гиперболы, заданной каноническим уравнениемуравнения директрис имеют вид

Слайд 108Для гиперболы, заданной каноническим уравнением

уравнения директрис имеют вид


Т.к. e

>1, то директрисы отстоят от центра на расстоянии меньшем действительной

полуоси.





Для гиперболы, заданной каноническим уравнениемуравнения директрис имеют вид Т.к. e >1, то директрисы отстоят от центра на

Слайд 109



A1
A2
F1
F2
M
x
y


A1A2F1F2Mxy

Слайд 110



A1
A2
F1
F2
M
x
y


A1A2F1F2Mxy

Слайд 111Теорема: Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и

достаточно, чтобы
отношение расстояния от этой точки до фокуса гиперболы

к расстоянию от той же точки до директрисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, было равно эксцентриситету гиперболы.
Теорема: Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки

Слайд 112



A1
A2
F1
F2
M
x
y


r2

A1A2F1F2Mxyr2

Слайд 113



A1
A2
F1
F2
M
x
y


r2
d2

A1A2F1F2Mxyr2d2

Слайд 114



A1
A2
F1
F2
M
x
y


r2
d2

A1A2F1F2Mxyr2d2

Слайд 115Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:
Понятие сопряженной гиперболы
Уравнение касательной к

гиперболе
Оптическое свойство гиперболы

Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:Понятие сопряженной гиперболыУравнение касательной к гиперболеОптическое свойство гиперболы

Похожие презентации

Тема: Технология учебно-воспитательного процесса по предмету ЛЕКЦИЯ 13 Тема: Технология учебно-воспитательного процесса по предмету ЛЕКЦИЯ 13 329
Числовые ряды Числовые ряды 1329
ЛЕКЦИЯ 1 ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА II. СКЕЛЕТ: II - III. СКЕЛЕТ ГОЛОВЫ ЛЕКЦИЯ 1 ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА II. СКЕЛЕТ: II - III. СКЕЛЕТ ГОЛОВЫ 211
Специальные лекционные вопросы по БЖД (ГУМ - содержание).ppt Специальные лекционные вопросы по БЖД (ГУМ - содержание).ppt 208
Размножение Размножение 230
Горьковский метод Горьковский метод 197
Бизнес-проект Ресторан здорового питания Бизнес-проект Ресторан здорового питания 446
СТРУКТУРНЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРАХ (ПП) И СТРУКТУРНЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРАХ (ПП) И 230
Обзор вступивших и будущих изменений в законодательной базе 223-ФЗ Обзор вступивших и будущих изменений в законодательной базе 223-ФЗ 281
den pozhilyh lyudey den pozhilyh lyudey 173
ПМ.01 Управление многоквартирным домом МДК 01.01 Нормативное и документальное ПМ.01 Управление многоквартирным домом МДК 01.01 Нормативное и документальное 184
Инфекционные заболевания кожи и подкожной клетчатки Инфекционные заболевания кожи и подкожной клетчатки 375
70 годовщина Гундоровки 70 годовщина Гундоровки 238
ШКОЛЬНЫЙ МЕДИАХОЛДИНГ ШКОЛЬНЫЙ МЕДИАХОЛДИНГ 186
Гигиеническое значение естественных составных частей атмосферного воздуха Гигиеническое значение естественных составных частей атмосферного воздуха 305
Правовая природа международного права Правовая природа международного права 209
Социально-психологические особенности взаимоотношений и взаимодействия дошкольника со сверстниками Социально-психологические особенности взаимоотношений и взаимодействия дошкольника со сверстниками 446
национальный проэкт национальный проэкт "ЗДОРОВЬЕ" ход реализации в Уральском федеральном округе 197
Герпес Герпес 629
Эрнест Сетон-Томпсон Эрнест Сетон-Томпсон 221

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика