Разделы презентаций


Неопределенный интеграл

Содержание

При изучении дифференциального исчисления рассматривалась задача нахождения производной или дифференциала по заданной функции y=F(x), то есть нужно было найти f(x)=F’(x) или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т.е., зная производную

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ЛЕКЦИЯ № 3

по дисциплине «Математика»
на тему: «Неопределенный интеграл»

для курсантов I

курса по военной специальности «Фармация»

ВОЕННО–МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ имени С.М. Кирова Кафедра биологической и

медицинской физики
ЛЕКЦИЯ № 3по дисциплине «Математика»на тему: «Неопределенный интеграл»	для курсантов I курса по военной специальности «Фармация»ВОЕННО–МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ имени

Слайд 2При изучении дифференциального исчисления рассматривалась задача нахождения производной или дифференциала

по заданной функции y=F(x), то есть нужно было найти f(x)=F’(x)

или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т.е., зная производную f(x) или дифференциал f(x)dx, найти такую функцию F(x), чтобы F’(x) = f(x).

1. Понятие неопределенного интеграла

При изучении дифференциального исчисления рассматривалась задача нахождения производной или дифференциала по заданной функции y=F(x), то есть нужно

Слайд 3
Например, известна скорость перемещения точки v(t), а найти нужно закон

ее перемещения: S(t).
Эта задача является более трудной, чем задача дифференцирования.

Для решения подобных задач вводятся новые понятия и действия.


Например, известна скорость перемещения точки v(t), а найти нужно закон ее перемещения: S(t).Эта задача является более трудной,

Слайд 4Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на

интервале (a,b), если F’(x)=f(x) на интервале (a,b).
Например, для f(x) =x2

первообразная
F(x) = x3/3, так как F’(x)=(x3/3)’=x2.
Для f(x) =cosx первообразной будет
F(x) =sinx, так как F’(x)=(sinx)’=cosx.


Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F’(x)=f(x) на интервале (a,b).Например,

Слайд 5Первообразная для заданной функции f(x) существует только, если эта функция

непрерывна на (a,b).
Кроме того, первообразных – множество, и отличаются они

только постоянным слагаемым.
Действительно, sinx+2, sinx-2, sinx+C – все эти функции будут являться первообразными для функции f(x) =cosx .


Первообразная для заданной функции f(x) существует только, если эта функция непрерывна на (a,b).Кроме того, первообразных – множество,

Слайд 6Определение: Выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее

множество первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и
обозначается

символом

т.е.








Определение: Выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f(x) называется неопределенным

Слайд 7
Знак ∫ - знак неопределенного интеграла;

f(x)dx – подынтегральное выражение;

f(x) –

подынтегральная функция.

Знак ∫ - знак неопределенного интеграла;f(x)dx – подынтегральное выражение;f(x) – подынтегральная функция.

Слайд 8Определение: Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется

интегрированием.
Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.
Его можно проверить дифференцированием, причем

дифференцирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной.


Определение: Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием.Интегрирование – действие, обратное дифференцированию. Его можно

Слайд 9Придавая постоянной величине С различные значения С1, С2, С3, получим

различные функции y1(x)=F(x)+C1, y2(x)=F(x)+C2, y3(x)=F(x)+C3, каждая из которых задает на

координатной плоскости кривую, называемую интегральной.
Все графики интегральных кривых сдвинуты друг относительно друга вдоль оси OY.


Придавая постоянной величине С различные значения С1, С2, С3, получим различные функции y1(x)=F(x)+C1, y2(x)=F(x)+C2, y3(x)=F(x)+C3, каждая из

Слайд 10

Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.

Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.

Слайд 11Пример семейства интегральных кривых

Пример семейства интегральных кривых

Слайд 12Чтобы находить первообразные, необходимо составить и выучить наизусть таблицу неопределенных

интегралов от основных элементарных функций.
Она получается в результате обращения соответствующих

формул дифференцирования.
Например, если (sinx)’=cosx, то ∫cosxdx=sinx+C.


Чтобы находить первообразные, необходимо составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных элементарных функций.Она получается в

Слайд 13Таблица основных неопределенных интегралов

Таблица основных неопределенных интегралов

Слайд 171) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Свойства неопределенных

интегралов

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.2. Свойства неопределенных интегралов

Слайд 182. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Слайд 193) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной

с произвольной постоянной:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

Слайд 204) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:


4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Слайд 215) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме

интегралов от этих функций:

5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Слайд 22Формула интегрирования остается справедливой, если переменная интегрирования является функцией:
если




Формула интегрирования остается справедливой, если переменная интегрирования является функцией: 	если

Слайд 23Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств.
3.

Непосредственное интегрирование

Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств.3. Непосредственное интегрирование

Слайд 25Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию

более простых функций с использованием известных формул.
Метод разложения

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более простых функций с использованием известных формул.

Слайд 27
Таких методов два:

а) метод замены переменной;

б) интегрирование по частям.
3. Основные

методы интегрирования

Таких методов два:а) метод замены переменной;б) интегрирование по частям.3. Основные методы интегрирования

Слайд 28Метод основан на замене переменной в неопределенном интеграле с целью

свести его нахождение к нахождению такого неопределенного интеграла, который может

быть найден методом разложения.
Другими словами, необходимо получить:

∫f1(x)dx = ∫f2(y)dy, где y = φ(x)

Метод замены переменной

Метод основан на замене переменной в неопределенном интеграле с целью свести его нахождение к нахождению такого неопределенного

Слайд 29Пример: Найти неопределенный интеграл: ∫cos2xdx
Этот интеграл не является табличным.
Произведем замену:

y = 2x
Тогда dy=(y)’dx=2dx
dx = dy/2
Соответственно:


Пример: Найти неопределенный интеграл: ∫cos2xdxЭтот интеграл не является табличным.Произведем замену: y = 2xТогда dy=(y)’dx=2dxdx = dy/2Соответственно:

Слайд 30Дифференциал произведения двух функций определяется формулой:
d(u•v) = udv + vdu


Интегрируя это равенство, получаем:
u•v = ∫udv+∫vdu
Отсюда:
∫udv= u•v -

∫vdu
Это и есть формула интегрирования по частям.

Интегрирование по частям

Дифференциал произведения двух функций определяется формулой:d(u•v) = udv + vdu Интегрируя это равенство, получаем:u•v = ∫udv+∫vdu Отсюда:

Слайд 31
Применение этого метода требует субъективного представления подынтегрального выражения в виде

udv, причем интеграл ∫vdu не должен быть труднее, чем интеграл

∫udv.


Применение этого метода требует субъективного представления подынтегрального выражения в виде udv, причем интеграл ∫vdu не должен быть

Слайд 38Любой результат можно проверить дифференцированием.
Например, в последнем случае:

Любой результат можно проверить дифференцированием.Например, в последнем случае:

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика