Численные методы оптимизации

диэлектриков
фотоэмиссионных диодов
просветляющих покрытий
поляризаторов
миниатюрных лазеров
управляемых оптических элементов

Математическая модель
Целевая функция – мера качества модели
Решение оптимизационной

задачи

некотором множестве, часто представляющем собой множество выборов в определенной ситуации.

Функционально существует возможность сравнения различных выборов для определения «наилучшего».

Области применения: Минимальная стоимость, максимальный доход, оптимальное управление, вариационное исчисление, создание новых конструкций и приборов.

04.12.2012

На какой результат надеяться при постановке оптимизационной задачи? Какие свойства

благоприятны, а какие нет? Что может способствовать правильной постановке задачи? К какому классу лучше отнести конкретную задачу?
Анализ решения: Что подразумевается под «решением»?
Условия существования и единственности решения. Каким образом распознать и охарактеризовать решение? Что произойдет при возмущении исходной задачи?
Численные методы: Итеративные схемы решения. Существуют ли способы (локального) упрощения проблемы? Сравнение различных способов оптимизации.

04.12.2012

часть математических задач описывала ранее поведение различных (физических) систем. Появление

компьютеров позволяет использовать математику для проектирования систем с предсказуемым поведением, что обеспечивается оптимизацией.


Равенства - неравенства: Оптимизация обычно имеет дело с переменными, которые лежат в определенном диапазоне, диктуемом ограничениями на допустимый результат. Это приводит к тому, что ограничения-неравенства используются гораздо чаще, чем равенства.

04.12.2012

и нелинейностью задач гораздо менее важно при оптимизации, чем различие

между выпуклостью и не выпуклостью целевых функций и ограничений. Этот факт требует от математической постановки задачи совершенно новых подходов.


Дифференцируемость - не дифференцируемость : Преобладание неравенств вместе с такими специальными функциями как «max» и «min» приводит к тому, что методология классической математики с опорой на гладкость поверхностей и дифференцируемость функций не является преобладающей.

04.12.2012

целевой функции соответствует выбору конечного числа действительных переменных, называемых искомыми

переменными. Обычно их обозначают через
и возможный набор переменных соответствует точке


которая называется допустимой точкой.

Ограничения: Условия, налагаемые на искомые переменные, определяют множество допустимых точек в пространстве переменных задачи.

04.12.2012

неравенств стараются избегать)
Интервальные ограничения: Условия, налагаемые на некоторые искомые переменные,

ограничивающие их изменения рамками заданных интервалов. Весьма важны в приложениях. Например, требование положительности некоторых переменных, или их ограниченность максимальными значениями.

для функций

и констант

04.12.2012

избегать)
Параметры (данные) : Задача обычно включает не только искомые переменные,

но и коэффициенты целевой функции задачи и константы ограничений. Условия, налагаемые на эти параметры , такие как их положительность, не сказываются на формулировке исходной задачи, однако они могут серьезно влиять на алгоритмы и методы решения. Именно поэтому на эти условия необходимо обращать пристальное внимание.

для линейных функций

и констант

04.12.2012

целевой функции задачи и константы ограничений поскольку это позволяет не

путать их при обращении к подпрограммам минимизации.

Обычно все переменные и константы передаются в стандартные подпрограммы минимизации единым массивом – вектором X.
Поэтому желательно учитывать такую возможность при программировании.

04.12.2012

термину «компьютерное программирование», который возник на ранних стадиях развития компьютеров

при решении оптимизационных задач.
Термин «программирование» в смысле «оптимизация» до сих пор присутствует в классификации задач:
линейное программирование;
квадратичное программирование;
выпуклое программирование;
целочисленное программирование;
и т.д.

04.12.2012

При конструировании некоторых объектов, систем либо структур, их параметры должны

удовлетворять определенным условиям и ограничениям, налагаемыми свойствами конструкции. Необходим выбор независимых переменных, от которых зависит конечный продукт, таких как себестоимость, вес и т.д.
Искусственный пример.
Надо рассчитать параметры консервной банки заданного объема так, чтобы минимизировать общую стоимость коробки с 12-ю банками, уложенными по формуле 3x4.
Цена рассчитывается как сумма:

, где

- площадь поверхности 12-ти банок, а

04.12.2012

заданной величины
Параметры конструкции:
- радиус,
- высота банки;
Ограничение на объем:
Боковая поверхность:
Размеры коробки:
Боковая

поверхность коробки:

Ограничение размеров:

Положительность ограничений:

04.12.2012

банки. Их множество допустимых значений описывается ограничениями:
где
и, следовательно,
исходные данные (константы).

Хотя неравенства

Первые пять условий – ограничения-неравенства, шестое – ограничение-равенство. На множестве допустимых значений надо минимизировать функцию:

Величины

не являются «ограничениями» задачи.

04.12.2012

консервной банки заданного объема так, чтобы минимизировать общую стоимость коробки

с 12-ю банками, уложенными в 4 ряда по три коробки в каждом ряду.

на множестве допустимых значений переменных, заданном ограничениями:

Математическая формулировка. Минимизировать функцию:

где

04.12.2012

может быть без ущерба опущено. Однако в реальных задачах распознавание

избыточных ограничений может оказаться не менее сложной проблемой, чем решение исходной задачи оптимизации.

Неактивные ограничения. Оптимальное решение

(единственное?) может удовлетворять одному или всем условиям-неравенствам как строгим неравенствам.

Это неактивные ограничения. Они могут быть без ущерба опущены. Иногда может помочь предварительный отбор неактивных ограничений. И во многих численных приложениях это основная и очень сложная проблема.

04.12.2012

задачу – оставить лишь одно неизвестное. Но, кроме того, что

такой прием может быть полезен в данном конкретном случае, переход к меньшему числу переменных может ухудшить остальные ограничения.

Неравенства или равенства? Ограничение

может быть записано в виде

Задача такова, что оптимум все равно достигается при условии равенства. А неравенство определяет выпуклое множество допустимых значений, в то время как равенство – нет.

относительно

, не влияя ни на

что, кроме решения.

04.12.2012

не становится «выпуклой», поскольку сама целевая функция не выпукла.
Урок

заключается в том, что формулировка задачи требует творческого подхода и опыта при учете важных свойств, необходимых для аккуратного решения проблемы оптимизации.

04.12.2012