1_01.ppt

механики

определенной функцией координат, причем квадрат модуля этой функции определяет распределение

вероятностей значений координат. Эта функция Ψ называется волновой функцией
Принцип суперпозиции состояний квантовой механики: все уравнения, которым удовлетворяют волновые функции, должны быть линейными по Ψ
Волновая функция полностью определяет состояние физической системы
Уравнение Шредингера:


H – линейный оператор, называемый гамильтоновым оператором или гамильтонианом

спектральной задачи Штурма – Лиувилля ):

Связь нестационарного и стационарных решений:


Матричные

элементы оператора энергии – элементы гамильтоновой матрицы:


Секулярное уравнение:

энергетическим или собственным:



Базис этого представления состоит из собственных функций гамильтониана:

Если

Ψ – собственная функция, отвечающая собственному значению E, то и CΨ (C – константа) есть собственная функция, отвечающая тому же собственному значению
Если Ψ1 и Ψ2 – собственные функции, отвечающие собственному значению E, то и любая линейная комбинация C1Ψ1+ C2Ψ2 есть собственная функция, отвечающая тому же значению E

значениям, ортогональны
Если два оператора физических величин L и M имеют

общую систему собственных функций, то они коммутируют друг с другом:

Если операторы коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций
Если какой-нибудь оператор (например, оператор числа частиц, оператор суммарного спина системы и т.д.) коммутирует с гамильтонианом, то в собственно энергетическом представлении, после нахождения спектра и волновых функций, соответствующие физические величины (число частиц, спин и т.д.) также являются вполне определенными, и сохраняют свое (собственное) конкретное значение

которые можно разбить на группы в соответствии с полным спином

системы:

спина системы коммутируют, то гамильтонова матрица имеет блочно-диагональный вид и

состоит из четырех блоков, каждый из которых отвечает одному из возможных четырех значений полного спина системы:

диагональному виду с помощью некоторого унитарного преобразования вида:

Существуют различные методы

численного решения этой задачи
Инвариантами матриц называются такие характеристики матриц, которые не изменяются при унитарных преобразованиях
В общем случае важнейшие инварианты даются неинвариантным характеристическим уравнением матрицы:

инвариантами являются корни характеристического уравнения матрицы – собственные значения матрицы.

Их совокупность (каждый корень считается столько раз, какова его кратность) образует спектр матрицы, нахождение которого вместе с соответствующими собственными волновыми функциями и является главной задачей в квантовой механике
При унитарных преобразованиях сохраняется нормировка волновых функций

бывает необходима точная оценка минимального или максимального собственного значения матрицы

еще до полного решения спектральной задачи
Для произвольного начального вектора





Оценка для максимального собственного значения: