Разделы презентаций


1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс

Содержание

Поле скорости по заданному полю вихрей и расхождения скорости

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс

Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс

Слайд 2Поле скорости по
заданному полю
вихрей и
расхождения скорости

Поле скорости по заданному полю вихрей и расхождения скорости

Слайд 3Компоненты ротора скорости:
Вихревые линии - линии, направление которых совпадает всюду

с мгновенной осью вращения жидкости.

Компоненты ротора скорости:Вихревые линии - линии, направление которых совпадает всюду с мгновенной осью вращения жидкости.

Слайд 4Дифференциальное уравнение вихревых линий
Если через каждую точку малой замкнутой кривой

провести соответствующую вихревую линию, то получим трубку, которая называется вихревой

трубкой. Жидкость внутри трубки образует вихревую нить или просто вихрь.
Дифференциальное уравнение вихревых линийЕсли через каждую точку малой замкнутой кривой провести соответствующую вихревую линию, то получим трубку,

Слайд 5 Задача
Заданы распределения вихря и дивергенции скорости в любой точке

жидкости, нормальная составляющая скорости на поверхности, ограничивающей данный объем жидкости

ЗадачаЗаданы распределения вихря и дивергенции скорости в любой точке жидкости, нормальная составляющая скорости на поверхности, ограничивающей

Слайд 6Предположения
Жидкость заполняет все пространство,
находится в покое на бесконечности.
Заданы вихрь

скорости Ω расхождение (дивергенция) скорости , равные 0 вне объема

.
Область  может быть разложена на конечное число частей, в которых  и Ω равномерно непрерывны, так же как и их частные производные.
ПредположенияЖидкость заполняет все пространство, находится в покое на бесконечности.Заданы вихрь скорости Ω расхождение (дивергенция) скорости , равные

Слайд 75. На поверхностях разрыва нормальная составляющая Ω остается непрерывной
Искомую скорость

u будем рассматривать как сумму двух слагаемых: одно определяется расхождением

скорости, и ее вихрь равен нулю, а второе – ротором скорости, а ее дивергенция равна нулю.
5. На поверхностях разрыва нормальная составляющая Ω остается непрерывнойИскомую скорость u будем рассматривать как сумму двух слагаемых:

Слайд 8Скорость задается уравнениями:
существует

Скорость задается уравнениями:существует

Слайд 9Для определения u1 получаем уравнение Пуассона
Предположим, что функция Θ равна

0 всюду, кроме очень малой окрестности τ0 начала координат, причем

Для определения u1 получаем уравнение ПуассонаПредположим, что функция Θ равна 0 всюду, кроме очень малой окрестности τ0

Слайд 10По теореме Гаусса
Т.е. объемный интеграл от расхождения вектора скорости равен

потоку вектора скорости через поверхность S0, ограничивающую объем τ0. Поток

должен равняться единице в силу предположения
По теореме ГауссаТ.е. объемный интеграл от расхождения вектора скорости равен потоку вектора скорости через поверхность S0, ограничивающую

Слайд 11Пусть τ→0. Получаем картину течения от точечного источника в начале

координат интенсивности 1. В силу симметрии потенциал скорости φ –

функция только r

φ всюду, кроме начала координат, удовлетворяет уравнению Лапласа
Пусть τ→0. Получаем картину течения от точечного источника в начале координат интенсивности 1. В силу симметрии потенциал

Слайд 12φ – функция только r, в сферических координатах нет зависимости

от широты и долготы.
Интегрируем:

φ – функция только r, в сферических координатах нет зависимости от широты и долготы.Интегрируем:

Слайд 13Произвольная постоянная определяется из условия, что поток скорости через произвольную

сферу с центром в начале координат равен 1. На сфере

нормальная составляющая скорости имеет постоянное значение:

а площадь поверхности сферы равна 4πr2
Произвольная постоянная определяется из условия, что поток скорости через произвольную сферу с центром в начале координат равен

Слайд 14Получаем:
Произвольная постоянная не влияет на величину скорости течения и может

быть отброшена

Получаем:Произвольная постоянная не влияет на величину скорости течения и может быть отброшена

Слайд 15Предположим, что интенсивность источника имеет значение q
В этом случае

Предположим, что интенсивность источника имеет значение qВ этом случае

Слайд 16Если задано распределение источников Θ(ξ, η, ζ)
Где r расстояние от

точки N(x,y,z), где ищем поле скорости до точки М(ξ,η,ζ), где

расположен источник. Интегрировать надо по (ξ,η,ζ).
Если задано распределение источников Θ(ξ, η, ζ)Где r расстояние от точки N(x,y,z), где ищем поле скорости до

Слайд 17Решение системы

Решение системы

Слайд 18Определим вектор u2 для системы

Удовлетворим второму уравнению, если положим
где А

– векторный потенциал. Тогда
Можно доказать тождество:

Определим вектор u2 для системыУдовлетворим второму уравнению, если положимгде А – векторный потенциал. ТогдаМожно доказать тождество:

Слайд 19Получаем уравнение:
(Можно считать не нарушая общности)

Получаем уравнение:(Можно считать не нарушая общности)

Слайд 21Одна вихревая нить
Несжимаемая
жидкость, покоящаяся
на бесконечности

Одна вихревая нитьНесжимаемая жидкость, покоящаясяна бесконечности

Слайд 22Применяя к вихревой трубке свойство
учитывая, что боковые поверхности трубки –

есть вихревые линии, т.е. параллельны ротору скорости, получаем для суммарного

потока вихря:

ds

Применяя к вихревой трубке свойствоучитывая, что боковые поверхности трубки – есть вихревые линии, т.е. параллельны ротору скорости,

Слайд 27ds
x,y,z
Составляющие единичного вектора k
Составляющие единичного вектора m

dsx,y,zСоставляющие единичного вектора kСоставляющие единичного вектора m

Слайд 28Вклад в величину скорости в точке (x,y,z) от элемента вихревой

трубки ds определяется выражением:

Вклад в величину скорости в точке (x,y,z) от элемента вихревой трубки ds определяется выражением:

Слайд 29Электродинамика:
Сила, действующая на магнитный полюс в точке (x,y,z) от элемента

проводника ds, по которому течет ток (Био и Савара)

Электродинамика:Сила, действующая на магнитный полюс в точке (x,y,z) от элемента проводника ds, по которому течет ток (Био

Слайд 30Прямолинейные
вихри
плоское движение
несжимаемая жидкость

Прямолинейныевихриплоское движениенесжимаемая жидкость

Слайд 31Пусть движение происходит в плоскости х, у. Вихревые линии являются

прямыми, параллельными оси z. ξ, η, ζ – координаты точек

вихревой трубки, ds – элемент дуги трубки
Пусть движение происходит в плоскости х, у. Вихревые линии являются прямыми, параллельными оси z. ξ, η, ζ

Слайд 32Скорость жидкости в точке (х, у) определяется:
Считая ξ, η, (х,

у, z) постоянными, интегрируем

Скорость жидкости в точке (х, у) определяется:Считая ξ, η, (х, у, z) постоянными, интегрируем

Слайд 33Достаточно рассматривать движение на плоскости 0xy, причем вместо вихревой нити

точку пересечения ее с плоскостью 0xy. Будем называть ее точечным

вихрем. Под влиянием такого вихря частицы жидкости двигаются по окружностям, центром которых является вихрь. Положительным  соответствует движение против часовой стрелки.
Вследствие симметрии движения центр вихря не будет смещаться.
Достаточно рассматривать движение на плоскости 0xy, причем вместо вихревой нити точку пересечения ее с плоскостью 0xy. Будем

Слайд 34Найти комплексный потенциал для точечного вихря.

Найти комплексный потенциал для точечного вихря.

Слайд 36 2 вихря
Две параллельные прямые вихревые нити в точках z1

и z2. Показать, что нити всегда сохраняют одинаковое расстояние друг

от друга и вращаются с постоянной угловой скоростью вокруг общего центра С. Пусть циркуляция одной нити равна 1 , а второй 2 .

r

Запишите комплексный потенциал для 2 нитей.

2 вихряДве параллельные прямые вихревые нити в точках z1 и z2. Показать, что нити всегда сохраняют

Слайд 37Комплексная сопряженная скорость

Комплексная сопряженная скорость

Слайд 38Скорость первого вихря в точке z1 (сам на себя не

действует)
Скорость второго вихря в точке z2
Отделяем мнимые и действительные части.

Обозначим расстояние между вихрями
Скорость первого вихря в точке z1 (сам на себя не действует)Скорость второго вихря в точке z2Отделяем мнимые

Слайд 40Получаем интеграл движения центра инерции системы двух вихрей
Точка С (центр

инерции) с координатами
Остается неподвижной во все время движения

Получаем интеграл движения центра инерции системы двух вихрейТочка С (центр инерции) с координатамиОстается неподвижной во все время

Слайд 41Вычитаем из первого третье уравнение, из второго – четвертое.

Вычитаем из первого третье уравнение, из второго – четвертое.

Слайд 42Интегрируем и получаем:
Расстояние между вихрями не меняется в процессе перемещения

Интегрируем и получаем:Расстояние между вихрями не меняется в процессе перемещения

Слайд 43A
B
x
С
Два вихря, вращающиеся в разных направлениях, находятся в начальный момент

времени на вещественной оси.
Найти скорости вихрей, расстояние до центра

системы, угловую скорость вращения вихрей.
ABxСДва вихря, вращающиеся в разных направлениях, находятся в начальный момент времени на вещественной оси. Найти скорости вихрей,

Слайд 44Вихревая нить с координатами

и циркуляцией  сообщает жидкости в точке

(х, у) скорость, компоненты которой равны

х

(х, у)

r

Вихревая нить с координатами        и циркуляцией    сообщает

Слайд 45A
B
x
y
С
С

ABxyСС

Слайд 46Угловая скорость вращения вихрей вокруг центра С
Где будет точка С,

если вихри вращаются в одном направлении?

Угловая скорость вращения вихрей вокруг центра СГде будет точка С, если вихри вращаются в одном направлении?

Слайд 47x
r
Два вихря, вращающиеся в разных направлениях, находятся в начальный момент

времени на вещественной оси.
Найти скорости вихрей, расстояние до центра

системы.
xrДва вихря, вращающиеся в разных направлениях, находятся в начальный момент времени на вещественной оси. Найти скорости вихрей,

Слайд 48Скорость первого вихря в точке z1 (сам на себя не

действует)
Скорость второго вихря в точке z2
Отделяем мнимые и действительные части.

Обозначим расстояние между вихрями
Скорость первого вихря в точке z1 (сам на себя не действует)Скорость второго вихря в точке z2Отделяем мнимые

Слайд 49Отделяем вещественную часть от мнимой :
Вихри перемещаются с постоянной скоростью,

перпендикулярно прямой, соединяющей вихри в положительном направлении оси у

Отделяем вещественную часть от мнимой :Вихри перемещаются с постоянной скоростью, перпендикулярно прямой, соединяющей вихри в положительном направлении

Слайд 50Пример 1
Одна вихревая нить в точке (х,у), циркуляция скорости внутри

бесконечно малого сечения имеет постоянное значение.
Найти центр системы

Пример 1Одна вихревая нить в точке (х,у), циркуляция скорости внутри бесконечно малого сечения имеет постоянное значение.Найти центр

Слайд 51х
у
r
Центр одиночного вихря не смещается во времени.

хуrЦентр одиночного вихря не смещается во времени.

Слайд 52Пример 2
Внутри круга радиуса а жидкость вращается как твердое тело

с угловой скоростью . Определить скорость вне круга.

Пример 2Внутри круга радиуса а жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью . Определить скорость вне

Слайд 53х
у
r
На границе вихря скорость равна  a.
а

хуrНа границе вихря скорость равна  a.а

Слайд 54Как будут двигаться 2 вихря радиуса а, если они имеют

циркуляцию разного знака, но одинаковую по модулю? Вихри вращаются как

твердое тело.

Пример 3

А

а

В

а

А

В

Как будут двигаться 2 вихря радиуса а, если они имеют циркуляцию разного знака, но одинаковую по модулю?

Слайд 55Движение двух вихрей с противоположным направлением вращения и
С
А
АС=
V1=V2=
Вихри двигаются по

прямой с одинаковой скоростью
а
В

Движение двух вихрей с противоположным направлением вращения иСААС=V1=V2=Вихри двигаются по прямой с одинаковой скоростьюаВ

Слайд 56Пример 3
А
а
В
а
А
В

Пример 3АаВаАВ

Слайд 57а
Куда
будет двигаться
вихрь?
Пример 4

аКудабудет двигатьсявихрь?Пример 4

Слайд 58Найти скорость перемещения вихря у твердой стенки

Найти скорость перемещения вихря у твердой стенки

Слайд 59Так как скорость жидкости во всех точках плоскости симметрии направлена

по касательной, то можно предположить, что эта плоскость образует твердую

границу для жидкости. Таким образом систему «вихрь у твердой границы» можно смоделировать системой, представляющей собой пару вихрей. Вихрь у твердой границы будет перемещаться с постоянной скоростью

а


Так как скорость жидкости во всех точках плоскости симметрии направлена по касательной, то можно предположить, что эта

Слайд 60Пример 5
В точке с координатами х,у находится прямая вихревая нить.

Жидкость ограничена твердыми стенками, образующими прямой угол вдоль осей координат.

Найти траекторию вихря.
Пример 5В точке с координатами х,у находится прямая вихревая нить. Жидкость ограничена твердыми стенками, образующими прямой угол

Слайд 62Так как циркуляция скорости вихря постоянна, то течение стационарно. В

этом случае траектория вихря совпадает с линией тока, проходящей через

точку (x,y)

Для того, чтобы описать влияние стенки, расположенной вдоль мнимой оси, поместим вихрь той же интенсивности, но с противоположным знаком циркуляции в точку (-x,y ) (отразим вихрь)

Так как циркуляция скорости вихря постоянна, то течение стационарно. В этом случае траектория вихря совпадает с линией

Слайд 63x,y
-x,y

x,y-x,y

Слайд 64Для того, чтобы описать влияние стенки, расположенной вдоль действительной оси,

поместим вихри той же интенсивности, но с противоположными знаками циркуляции

в точки (-x,-y ) и (x,-y )
Для того, чтобы описать влияние стенки, расположенной вдоль действительной оси, поместим вихри той же интенсивности, но с

Слайд 65x,y
-x,y
x,-y
-x,-y
Надо найти потенциал в точке (x,y)

x,y-x,yx,-y-x,-yНадо найти потенциал в точке (x,y)

Слайд 66На линии тока =const, т.е.

На линии тока =const, т.е.

Слайд 67x,y
-x,y
x,-y
-x,-y
Траектория вихря в углу, образованном твердыми стенками

x,y-x,yx,-y-x,-yТраектория вихря в углу, образованном твердыми стенками

Слайд 78расположенных в точках z1,…, zn и имеющих интенсивности 1, …,

n
Комплексный потенциал
Комплексная скорость
Записать скорость вихря в точке zp (k=p)
n

вихрей
расположенных в точках z1,…, zn и имеющих интенсивности 1, …, nКомплексный потенциалКомплексная скоростьЗаписать скорость вихря в точке

Слайд 79Уравнение движения вихря в точке zp (k=p)
Умножая на p и

суммируя по переменной p от 1 до n, получаем в

правой части

Так как слагаемому с (zp-zk) соответствует слагаемое с (zk-zp)

Уравнение движения вихря в точке zp (k=p)Умножая на p и суммируя по переменной p от 1 до

Слайд 80Следовательно
Получаем
Отделяем мнимую и действительную части

СледовательноПолучаемОтделяем мнимую и действительную части

Слайд 81Если

, то получаем интегралы


движения центров инерции (следствие 1)
Если           , то получаем интегралы

Слайд 82Следствие 2

Уравнение движения вихря в точке zp (k=p)

Умножая на p zp и суммируя по переменной p от 1 до n, получаем

Отделить мнимую и действительную части

Следствие 2

Слайд 83Сумма моментов количеств движения масс p относительно начала координат не

меняется со временем
(1)
(2)
(2)

Сумма моментов количеств движения масс p относительно начала координат не меняется со временем(1)(2)(2)

Слайд 85Сумма моментов инерции масс p относительно начала координат не меняется

со временем

Сумма моментов инерции масс p относительно начала координат не меняется со временем

Слайд 86Умножая выражения скорости на

и суммируя по переменной p от 1

до n, получаем еще один интеграл
Следствие 3

Умножая выражения скорости наи суммируя по переменной p от 1 до n, получаем еще один интегралСледствие 3

Слайд 87А
а
В
Такие вихри называются «парой вихрей». Они являются плоской аналогией вихревому

кольцу и обладает многими свойствами последнего.

АаВТакие вихри называются «парой вихрей». Они являются плоской аналогией вихревому кольцу и обладает многими свойствами последнего.

Слайд 88Куда двигается кольцевой вихрь?

Куда двигается кольцевой вихрь?

Слайд 89круговая вихревая нить
радиуса а лежит в плоскости х,у

круговая вихревая нитьрадиуса а лежит в плоскости х,у

Слайд 90Координаты точки М на вихревой нити в декартовой системе (x,

y, z)
Расстояние от точки М на вихревой нити до точки

N(x,y,z)
Координаты точки М на вихревой нити в декартовой системе (x, y, z)Расстояние от точки М на вихревой

Слайд 91(1)
Запишем компоненты скорости через векторный потенциал

(1)Запишем компоненты скорости через векторный потенциал

Слайд 93Для векторного потенциала в точке x,y,z

Для векторного потенциала в точке x,y,z

Слайд 94Для плоскости x,y при θ=0
Вследствие симметрии задачи это справедливо для

всех углов θ

Для плоскости x,y при θ=0Вследствие симметрии задачи это справедливо для всех углов θ

Слайд 96Подставляем выражения векторного потенциала в (1) и находим компоненты скорости

Подставляем выражения векторного потенциала в (1) и находим компоненты скорости

Слайд 97ОПРЕДЕЛИТЬ объем жидкости, протекающей через круг с радиусом ρ, лежащий

в плоскости перпендикулярной оси z с центром на оси z

, через переменную А
ОПРЕДЕЛИТЬ объем жидкости, протекающей через круг с радиусом ρ, лежащий в плоскости перпендикулярной оси z с центром

Слайд 98Объем жидкости, протекающей через круг с радиусом ρ, лежащим в

плоскости перпендикулярной оси z с центром на оси z

Объем жидкости, протекающей через круг с радиусом ρ, лежащим в плоскости перпендикулярной оси z с центром на

Слайд 99ОПРЕДЕЛИТЬ
скорость перемещения круговой вихревой нити

ОПРЕДЕЛИТЬскорость перемещения круговой вихревой нити

Слайд 101Вихревой слой
0
а
S
S1
x
y

u1
u
Найти ротор скорости

Вихревой слой0аSS1xyu1uНайти ротор скорости

Слайд 102Внутри слоя  = const
Разрыв скорости может быть смоделирован цепочкой

вихревых нитей

Внутри слоя  = constРазрыв скорости может быть смоделирован цепочкой вихревых нитей

Слайд 103Вихревой цилиндрический слой
x
r
Интенсивность вихрей на элементе дуги rd
Записать комплексный потенциал

и комплексную скорость для точки z

Вихревой цилиндрический слойxrИнтенсивность вихрей на элементе дуги rdЗаписать комплексный потенциал и комплексную скорость для точки z

Слайд 104Комплексный потенциал цилиндрического слоя в точке z
Комплексная скорость
Делим подинтегральное выражение

на z, умножаем на

Комплексный потенциал цилиндрического слоя в точке zКомплексная скоростьДелим подинтегральное выражение на z, умножаем на

Слайд 105z рассматривается как постоянная при интегрировании

z рассматривается как постоянная при интегрировании

Слайд 106Если z внутри окружности, т.е.
При изменении  от 0 до

2 аргумент разности

меняется на 2, так как вектор обходит начало координат. Тогда

z

r

0

Если z внутри окружности, т.е.При изменении  от 0 до 2 аргумент разности

Слайд 107Если z вне окружности, т.е.
При изменении  от 0 до

2 конец вектора

обходит замкнутый путь не содержащий начала координат. Тогда

z

r

0

Записать комплексную скорость внутри и вне цилиндра

Если z вне окружности, т.е.При изменении  от 0 до 2 конец вектора

Слайд 108Комплексная скорость
движения нет внутри цилиндра
вне цилиндра движение описывается воздействием вихревой

нити интенсивности 2r, расположенной в начале координат

Комплексная скоростьдвижения нет внутри цилиндравне цилиндра движение описывается воздействием вихревой нити интенсивности 2r, расположенной в начале координат

Слайд 1092 3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

2  3КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Слайд 110U
Записать функцию тока для вихревой пары в потоке жидкости, имеющего

постоянную скоростью U. Скорость потока равна по модулю скорости пары,

но противоположна по направлению.

№1

UЗаписать функцию тока для вихревой пары в потоке жидкости, имеющего постоянную скоростью U. Скорость потока равна по

Слайд 111=const
Линии тока вихревой пары
А
В

=constЛинии тока вихревой парыАВ

Слайд 112Функция тока для течения, имеющего постоянную скорость вдоль оси ординат

Функция тока для течения, имеющего постоянную скорость вдоль оси ординат

Слайд 113Относительные линии тока вихревой пары
О
на оси у и на овале

О (жирная линия).

Относительные линии тока вихревой парыОна оси у и на овале О (жирная линия).

Слайд 114Жидкость внутри овала О движется вместе с вихрями.
Жидкость вне

овала О обтекает этот овал как твердый цилиндр.
Полуоси овала О

приблизительно имеют длину 2.09а и 1.73а.
Жидкость внутри овала О движется вместе с вихрями. Жидкость вне овала О обтекает этот овал как твердый

Слайд 115Найти в ортогональной системе координат уравнения линий тока для
1)

случая двух вихрей одинаковой интенсивности
2) пары вихрей
№2

Найти в ортогональной системе координат уравнения линий тока для 1) случая двух вихрей одинаковой интенсивности2) пары вихрей

Слайд 116На линии тока
z2
z1

На линии токаz2z1

Слайд 117=const
Линии тока вихревой пары
А
В

=constЛинии тока вихревой парыАВ

Слайд 119При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока,

а =const.
Пусть в центре цилиндра имеется сток, а на

оси 0х лежат два источника: один внутри цилиндра, другой вне цилиндра, Q – инверсия точки Р, мощность одинакова. Показать, что

х

Р

О

Q

R

источники

сток

поверхность цилиндра является линией тока

При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока, а =const. Пусть в центре цилиндра имеется

Слайд 120При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока,

а =const.
Пусть в центре цилиндра имеется сток, а на

оси 0х лежат два источника: один внутри цилиндра, другой вне цилиндра, Q – инверсия точки Р, мощность одинакова. Показать, что

х

Р

О

Q

R

источники

сток

поверхность цилиндра является линией тока

При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока, а =const. Пусть в центре цилиндра имеется

Слайд 122х
цилиндр
Р
О
Q
R
источники
сток
Так как,
То треугольники ORQ и ORP подобны
Углы ORQ и RPO

равны

хцилиндрРОQRисточникистокТак как,То треугольники ORQ и ORP подобныУглы ORQ и RPO равны

Слайд 123Вихревой цилиндрический слой
x
r
Интенсивность вихрей на элементе дуги rd
Найти координаты центра

системы
№4

Вихревой цилиндрический слойxrИнтенсивность вихрей на элементе дуги rdНайти координаты центра системы№4

Слайд 124Интенсивность твердотельно вращающихся вихрей такова, что тангенциальные составляющие скорости в

точках соприкосновения равны
Найти координаты центра системы
№5

Интенсивность твердотельно вращающихся вихрей такова, что тангенциальные составляющие скорости в точках соприкосновения равныНайти координаты центра системы№5

Слайд 125РЕШЕНИЯ

РЕШЕНИЯ

Слайд 126U
Записать функцию тока для вихревой пары в потоке жидкости, имеющего

постоянную скоростью U. Скорость потока равна по модулю скорости пары,

но противоположна по направлению.

№1

UЗаписать функцию тока для вихревой пары в потоке жидкости, имеющего постоянную скоростью U. Скорость потока равна по

Слайд 127Найти в ортогональной системе координат уравнения линий тока для
1)

случая двух вихрей одинаковой интенсивности
2) пары вихрей
№2

Найти в ортогональной системе координат уравнения линий тока для 1) случая двух вихрей одинаковой интенсивности2) пары вихрей

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика