1 Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В общем виде СЛАУ можно

записать в следующем виде
Совокупность коэффициентов , i =1,2,3,…,n;

j=1,2,3,….,m системы

можно представить в виде матрицы:

значить найти такие значения вектора
Совокупность неизвестных
- в виде вектора
Совокупность

неизвестных

- в виде вектора

подстановка которого в систему, обращает каждое уравнение этой системы в тождество.

если вектор
Если система, имеет хотя бы одно решение, она называется

совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая бесчисленное множество решений, называется неопределенной.

Очевидно, что однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно
решение , которое называется тривиальным.

СЛАУ называется:

группы: точные и итерационные.
Точные методы позволяют получить решение путем выполнения

определённого и точного количества арифметических операций. При этом погрешность решения определяется лишь точностью представления исходных данных и точностью вычислительных операций. Итерационные методы дают некоторую последовательность приближений к решению. Пределом этой последовательности является решение системы уравнений. Решение, возможно, определить лишь с некоторой, как правило, заданной степенью точности . Количество итераций для достижения требуемой точности решения определяется величиной , выбором начального приближения и видом системы уравнений.

Точные методы

Метод обратной матрицы

Метод Гаусса

Метод Гаусса включает два этапа.

x=inv(A)*b

x=A\b

системы уравнений и состоит из n–1 шага. На первом шаге

с помощью первого уравнения исключается x1 из всех последующих уравнений начиная со второго, на втором шаге с помощью второго уравнения исключается x2 из последующих уравнений начиная с третьего и т.д. Последним исключается xn-1 из последнего n-го уравнения так, что последнее уравнение будет содержать только одно неизвестное xn. Такое последовательное исключение неизвестных равносильно приведению матрицы коэффициентов к треугольному виду. Строка, с помощью которой исключаются неизвестные, называется ведущей строкой, а диагональный элемент в этой строке – ведущим элементом.

Второй этап (обратный ход) заключается в последовательном вычислении искомых неизвестных и состоит из n шагов. Решая последнее уравнение, находим неизвестное xn. Далее используя это значение из предыдущего уравнения вычисляем неизвестное xn-1 и т.д. Последним найдем неизвестное x1 из первого уравнения.

Матрица, содержащая помимо. коэффициентов при неизвестных столбец свободных членов , называется расширенной

приписав, справа к матрицы
вектор
т.е. ci,j=ai,j , ci,n+1=bi

, где i=1,2,3,…,n j=1,2,3,…,n

Задаем номер ведущей строки k = 1

Преобразуем все строки, расположенные ниже k-ой так, чтобы элементы cik=0, для этого вычисляем множитель =-сi,k/ck,k и каждую i-ую строку заменяем суммой i–ой и k-ой умноженной на , т.е. ci,j=ci,j+*ck,j где i = k+1,k+2,k+3,….,n и j = k,k+1,k+2,…,n+1

Проверяем k = n-1 если нет, то выбираем новую ведущую строку k=k+1 и переходим на пункт 2, иначе выполняем пункт 4.

Обратный ход. Из последнего n-ого уравнения определяем последнее n-ое неизвестное. xn=cn,n+1/cn,n Последовательно, из предыдущих уравнений начиная с i=n-1, вычисляем соответствующие неизвестные xi. Последним, определяется первое неизвестное из первого уравнение.

преобразуем её к ступенчатому виду.
i=3 – складываем 3ую строку с

1ой умноженной на =-c31/c11=-2/4=-0.5

i=2 – складываем 2ую строку с 1ой умноженной на =-c21/c11=-2/4=-0.5

i=3 – складываем 3ую строку с 2ой умноженной на =-c32/c22=-0.5/5=-0.1

k=2

k=1

выбора«ведущего» элемента. В модификации с частичным выбором на каждом k-м

шаге прямого хода в качестве «ведущего» выбирается наибольший по модулю элемент из неприведённой части k-го столбца матрицы, т.е.

Строка, содержащая этот элемент, переставляется с k-й строкой расширенной матрицы.

При полном выборе в качестве «ведущего» элемента выбирается максимальный по модулю элемент из всей неприведённой части матрицы коэффициентов системы:

Для этого осуществляется необходимая перестановка как строк, так и столбцов в расширенной матрице коэффициентов. При этом следует помнить, что перестановка столбцов равносильна переименованию неизвестных.

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса с частичным выбором.

виду.
На первом шаге преобразования к=1 наибольший по абсолютной величине элемент

в первом столбце (5) расположен в третьей строке матрицы, поэтому меняем первую и третью строки и производим необходимые преобразования.

На втором шаге преобразования к=2 наибольший по абсолютной величине элемент во втором столбце (6.2) расположен в третьей строке матрицы, поэтому меняем вторую и третью строки и производим необходимые преобразования.

Второй этап. Вычисляем неизвестные.

ответ

значит, что погрешности коэффициентов матрицы и свободных членов или погрешность

округления при расчетах могут сильно исказить решение.

Исходную систему уравнений

с учетом погрешности в векторе

.

или

и тогда

отсюда можно выразить ошибку

Абсолютная погрешность определим, как норму ошибки

или

Определим

Определим относительную погрешность

Запишем как

относительной погрешности получим
Вводим понятие числа обусловленности:
и тогда

СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим каждое уравнение относительно

соответствующего неизвестного:

Тогда итерационную формулу запишем в виде:

– приведенный столбец свободных членов, матрица
– приведенная матрица коэффициентов.
Второй

этап. Проверяем условие сходимости

если условие не выполняется, то преобразуем исходную систему и выполняем 1-й этап.

Третий этап. Осуществляем уточнение решения по полученной итерационной формуле.

За начальное приближение принимается

Условием окончания итерационного процесса является выполнение условия

– смежные приближения к решению.

итерационному виду.