Слайд 12.5. Случайные величины и их распределения
Случайной величиной называется величина, которая
в результате испытания примет одно и только одно возможное значение,
заранее неизвестное и зависящее от множества причин, которые заранее не могут быть учтены.
Каждый исход испытания характеризуется случайной величиной.
Х = {x1, x2, …}
Случайные величины:
ДСВ – дискретные
НСВ - непрерывные
Слайд 2Дискретная случайная величина
ДСВ – СВ, которая принимает отдельные изолированные возможные
значения.
Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.
Слайд 3Непрерывная случайная величина
НСВ – СВ, которая может принимать любые значения
из конечного или бесконечного промежутка.
Число возможных значений всегда бесконечно.
Слайд 42.5.1. Числовые характеристики распределений
Закон распределения СВ полностью характеризует случайную величину.
Но
для решения многих задач достаточно использовать числовые характеристики случайной величины:
математическое
ожидание М;
дисперсия D;
среднеквадратическое отклонение (СКО) σ.
Слайд 51. Математическое ожидание
это наиболее вероятное, усредненное значение СВ.
ДСВ:
НСВ:
Слайд 62. Дисперсия
это мера разброса СВ, то есть усреднённый квадрат её
отклонения от математического ожидания.
ДСВ:
НСВ:
Слайд 7Связь между математическим ожиданием и дисперсией
для ДСВ и НСВ:
D(X) =
M((X – M(X))2)
D(X) = M(X2) – (M(X))2
Слайд 83. Среднеквадратическое отклонение
это также мера разброса СВ, но в отличие
от дисперсии СКО измеряется в тех же единицах, что и
сама СВ.
Слайд 9Статистическое определение М, D
Если закон распределения СВ неизвестен, но имеется
выборка значений СВ объёмом n, то можно приблизительно оценить математическое
ожидание и дисперсию:
Слайд 10Почему в формуле дисперсии в знаменателе n-1?
Потому что входящая в
формулу величина мат.ожидания М сама зависит от элементов выборки.
Если
бы в формуле ещё одна величина была функцией элементов выборки, то пришлось бы взять n-2 и т.д.
Слайд 11Альтернативная формула для определения дисперсии
Дисперсию можно рассчитать статистически, не зная
мат.ожидания:
Слайд 12Центрированная СВ
ЦСВ – это отклонение СВ от её математического ожидания
Х
= Х – М
М(Х) =
D(X) =
Слайд 13Центрированная СВ
ЦСВ – это отклонение СВ от её математического ожидания
Х
= Х – М
М(Х) = 0
D(X) = D(X)
Слайд 14Нормированная СВ
это ЦСВ, выраженная в долях СКО.
Z = X/σ
М(Z) =
D(Z) =
Слайд 15Нормированная СВ
это ЦСВ, выраженная в долях СКО.
Z = X/σ
М(Z) =
0
D(Z) = 1
Слайд 162.5.2. Законы распределения вероятностей ДСВ
ДСВ задаётся:
рядом распределения;
функцией распределения (интегральный закон)
Слайд 17а) Ряд распределения
это совокупность всех возможных значений хi дискретной СВ
Х и соответствующих им вероятностей pi.
Замечание: события хi образуют группу
гипотез =>
Слайд 18Графически эту таблицу задают гистограммой или полигоном
Слайд 19б) Функция распределения (интегральный закон)
это функция F(x), равная вероятности того,
что СВ примет значение, не превышающее х.
F(x) = P(X
х) =
Слайд 20Пример
Из 100 изделий, среди которых 10 дефектных, выбирают случайным образом
5 изделий.
Построить ряд распределения дефектных изделий в данной выборке.
Слайд 21Например, найдём вероятность того, что в выборке будет ровно 2
дефектных изделия
Слайд 22Ответ
р0 = 0,584
р1 = 0,339
р2 = 0,07
р3 = 0,007
р4 ≈
0
р5 ≈ 0
Слайд 23F0 = 0,584
F1 = 0,584 + 0,339 = 0,923
F2 =
0,584 + 0,339 + 0,07 = 0,993
F3 = 0,584 +
0,339 + 0,07 + 0,007 = 1
F4 = 1
F5 = 1
Слайд 242.5.3. Законы распределения вероятностей НСВ
Задать НСВ таблицей нельзя.
НСВ задают:
функцией распределения
F(x) (интегральный закон);
плотностью распределения f(x) (дифференциальный закон).
Слайд 25а) Интегральный закон распределения
Функция распределения – это вероятность того, что
НСВ примет значение, меньшее х.
F(x) = P(X < x)
Свойства:
Р(а
Х < b) = F(b) – F(a)
F(x1) < F(x2) <=> x1 < x2 (функция F не убывает)
lim F(x) = 1
x → ∞
lim F(x) = 0
x → – ∞
Слайд 26б) Дифференциальный закон распределения
Плотность распределения:
Плотность распределения связана с функцией
распределения:
Слайд 27б) Дифференциальный закон распределения
Свойства
Слайд 28Некоторые дискретные распределения
Рассмотрим следующие распределения ДСВ:
биномиальное (закон Бернулли);
Пуассона (закон редких
событий)
Слайд 291) Биномиальное распределение
Пусть р – вероятность события А.
Тогда вероятность того,
что
из n независимых испытаний
ровно k исходов будут благоприятны,
равна:
рn(k) = Cnk pk (1 – p)n – k
- формула Бернулли.
Слайд 301) Биномиальное распределение
Доказательство:
Рассматривается 2 возможных исхода испытания:
или появление,
или отсутствие интересующего
события А.
Считаем, что испытания независимы.
Пусть р – вероятность появления события
А;
р = const от опыта к опыту;
Тогда (1 – р) – вероятность отсутствия события А.
Пусть из n исходов k – благоприятные, удачные.
Слайд 311) Биномиальное распределение
Тогда вероятность пересечения k удачных и (n –
k) неудачных будет равна:
рk(1 – р)n – k.
При этом число
способов, которыми из n исходов можно получить k удачных, равно:
Слайд 321) Биномиальное распределение
Тогда вероятность того, что из n независимых испытаний
k исходов будут благоприятны, равна:
рn(k) = Cnk pk (1 –
p)n – k
Слайд 331) Биномиальное распределение
У биноминального распределения достаточно просто рассчитываются М и
D:
М = np
D = np(1 – p)
Слайд 34Пример на биномиальное распределение
Энергосистема имеет 150 генераторных блоков.
Вероятность отказа одного
блока равна 0,06.
а) Определить вероятность того, что в данный момент
не работают ровно 2 блока.
б) При каком числе k вероятность отказа одновременно k блоков будет максимальной?
Определить эту вероятность.
Слайд 35Решение
р = 0,06
1 – р = 1 – 0,06 =
0,94
р150(2) = C1502 ·0,062 ·0,94150 – 2 = 0,00424.
М =
150·0,06 = 9 = k
D = 9·0,94 = 8,46
σ = 2,91
р150(9) = C1509 ·0,069 ·0,94150 – 9 = 0,136.
Слайд 36Распределение р150(к)
р150(к)
0,136
9
k
Слайд 372) Распределение Пуассона
Пусть р – вероятность события А.
При этом
р – очень малое число.
Проводится серия из n испытаний.
Среднее число
появления события А не меняется в различных сериях испытаний.
а = np = const.
Тогда вероятность появления k событий А равна
Слайд 38Доказательство
Основано на формуле Бернулли и втором замечательном пределе:
(1 +
1/n)n → е ≈ 2,718… при n → ∞
Слайд 392) Распределение Пуассона
У распределения Пуассона достаточно просто рассчитываются М и
D:
М = D = а
Слайд 40Пример
Завод производит реле с вероятностью дефекта 0,01.
Покупаем 200 реле.
Найти вероятность
того, что среди купленных реле:
не будет дефектных реле;
будет 1 дефектное
реле;
будет 2 дефектных реле и т.д.
Построить ряд распределения числа дефектных реле среди купленных.
Слайд 42Распределение р200(к)
р200(к)
0,271
1
k
2
3
4
0
0,135
0,181
0,09
Слайд 43Некоторые непрерывные распределения
Рассмотрим следующие распределения НСВ:
экспоненциальное;
нормальное.
Слайд 441) Экспоненциальное распределение
Задаётся плотность распределения:
f(x) = λ exp(– λx),
где
λ = const > 0 – единственный параметр распределения;
х ≥
0
Это распределение моделирует время между двумя последовательными совершениями одного и того же события.
Слайд 451) Экспоненциальное распределение
f
λ
x
В этом распределении
х – время (например, в
ч);
λ – средняя интенсивность события (например, ч-1)
Слайд 461) Экспоненциальное распределение
F(x) =
М(Х) =
D(Х) =
Слайд 471) Экспоненциальное распределение
F(x) = 1 – exp(– λx),
М(Х) =
1/λ
D(Х) = 1/λ2
Слайд 481) Экспоненциальное распределение
F
1
x
Функция распределения
Слайд 492) Нормальное распределение
Плотность распределения:
Функция распределения:
Слайд 502) Нормальное распределение
В отличие от экспоненциального распределения (с единственным параметром
λ), характеризуется двумя параметрами:
математическое ожидание a;
СКО σ.
Слайд 522) Нормальное распределение
F
x
a
1
0,5
Слайд 532) Нормальное распределение
Видно, что:
график f(х) симметричен относительно оси х =
а;
график F(x) симметричен относительно точки
(а; 0,5).
Отсюда – идея центрировать
эти функции:
f(х), чтобы она стала чётной;
F(x), чтобы она стала нечётной.
Слайд 542) Нормальное распределение
Пусть z = (x – a)/σ.
Этот аргумент –
безразмерный, т.к. х, a, σ имеют одинаковые размерности.
То есть
функцию не только центрируют, но и нормируют.
Слайд 552) Нормальное распределение
Плотность распределения:
Функция распределения:
Слайд 572) Нормальное распределение
F
z
1
0,5
0
Слайд 582) Нормальное распределение
Функция F(z) по-прежнему неудобна, т.к.:
она не является ни
чётной, ни нечётной;
интеграл
не берётся.
Введём функцию Лапласа:
Докажем, что F(z) = 0,5 + Ф(z)
Слайд 592) Нормальное распределение
Ф
z
– 0,5
0,5
Слайд 602) Нормальное распределение
Функция Лапласа Ф(z) нечётная, поэтому её можно задать
только при z ≥ 0.
Интеграл
также не берётся, но
его значения можно задать таблицей.
Слайд 612) Нормальное распределение
С помощью функции Лапласа можно вычислить вероятность того,
что случайная величина примет значение между х1 и х2:
Р(х1
Х < х2) = F(х2) – F(х1) =
= 0,5 + Ф(z2) – 0,5 – Ф(z1) = Ф(z2) – Ф(z1),
где z1,2 = (х1,2 – а) / σ
Слайд 62Пример на вычисление вероятности для нормального распределения
Рассматривается НСВ – мощность
нагрузки, МВт.
Данная НСВ имеет нормальное распределение с мат. ожиданием 10
МВт и СКО 2 МВт.
Найти вероятность того, что мощность нагрузки примет значение от 12 до 14 МВт.
Слайд 63Пример на вычисление вероятности для нормального распределения
Решение:
z1 = (х1 –
а) / σ = (12 – 10) / 2 =
1;
z2 = (х2 – а) / σ = (14 – 10) / 2 = 2;
Р(12 < Х < 14) = Ф(2) – Ф(1) = 0,4772 – 0,3413 =
= 0,1359.
