3 01 СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ТЕМА 3. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ 3.1. Понятие модели

В процедуре проведения системного анализа важное место занимает этап

формализации описания системы, т.е. построение ее модели.

Модель — это искусственно создаваемый образ конкретного объекта,
процесса или явления, в конечном счете, любой системы.

Модели являются всегда упрощенным описанием системы.

Модель — это отображение реальной системы (оригинала), имеющее
определенное объективное соответствие ей и позволяющее прогнозировать
и исследовать ее функциональные характеристики, т.е. характеристики,
определяющие взаимодействие системы с внешней средой.

Математические модели – основа аналитических
исследований и имитационных экспериментов, в том числе, на ЭВМ.

Детерминированные модели описывают поведение систем с позиций
полной определенности состояний

системы в настоящем и будущем.

Вероятностные модели описывают поведение системы в условиях
воздействия случайных факторов. Следовательно, такие модели
оценивают будущие состояния системы с позиций вероятностей
реализации тех или иных событий.

Игровые модели дают возможность изучать конфликтные ситуации, в
которых каждая из конфликтующих сторон придерживается своих взглядов,
и характер поведения каждой из них диктуется личными интересами.

Модель черного ящика
Наиболее простой, грубой формой описания системы является представление

ее в виде черного ящика, которое имеет следующие особенности. Во-первых,
такое представление не раскрывает внутренней структуры, внутреннего
устройства системы. Оно лишь выделяет систему из окружающей среды,
подчеркивает ее целостное единство. Во-вторых, такое представление
говорит также о том, что система хотя и является обособленной, выделенной
из среды, но, тем не менее, она не является изолированной от нее.

В общем виде математическое описание исследуемой системы может быть
выражено

зависимостью:
{Y} = Ф [{X},{Z},{V}],
где {Y}= (Y1,Y2,...,Yt) — множество векторов выходных переменных системы.
Выходных переменные, как правило, соответствуют критериям,
отражающим цели исследования. Под критерием понимают целевые функции,
параметры оптимизации и т.д.
Множество входных переменных подразделяют на три класса:
{X} ~(Х1 ,Х2..., Xi ) — множество векторов входных контролируемых
управляемых независимых переменных (факторов), действующих на
процессы;
{Z}=(Z1,Z2,...,Zk) — множество векторов входных контролируемых, но
неуправляемых независимых переменных;
{V}= (V1,V2,...,Vn) — множество векторов неконтролируемых возмущающих
воздействий; Ф — оператор системы, определяющий связь между указанными
величинами.
В модели черного ящика оператор системы, определяющий связь между
указанными величинами, не исследуется.

Модель черного ящика - начальный этап изучения сложных систем.

В модель следует отбирать только те входы и выходы, которые отражают
целевое назначение модели. Критерием отбора является существенность
той или иной связи по отношению к цели, ради достижения которой строится
модель.

Модель калькулятора.
Для чего нужен?
Какие типы кнопок для этого необходимы?
Энергообеспечение?
Кто пользователь?
В каких условиях эксплуатируется?

Модель черного ящика не дает возможности анализировать способ
преобразования

входов в выходы.

Модель состава системы отражает ее структуру: подсистемы, элементы,
компоненты и т.д., - с нужной степенью деталировки. Связи между ними
не рассматриваются.
Применяется, например, при расчете надежности технических систем,
состоящих их блоков и узлов, характеристики надежности которых известны
или должны быть определены.

Развитие модели состава.
Модели данного типа наряду

с характеристикой состава системы отражают
взаимосвязи между объектами системы: элементами, частями, компонентами
и подсистемами.

Задача анализа заключается в следующем:
из множества реально существующих отношений между объектами,
вовлеченными в систему, отобрать наиболее существенные. Критерием
существенности отношений должна выступать опять же цель, для
достижения которой строится модель.

Структурная схема отражает, как правило, статическое состояние системы.
В ней указываются все существенные с точки зрения выполнения
поставленной цели элементы системы, все связи между элементами
внутри системы и связи с окружающей средой — то, что названо входами
и выходами.

Динамические модели отражают поведение систем, описывают
происходящие с течением

времени изменения, последовательность
операций, действий, причинно-следственные связи.

Два типа динамических процессов — это функционирование и развитие.
Под функционированием понимают процессы, которые происходят в системе,
стабильно реализующей фиксированную цель.
Развитием называют изменения, происходящие с системой при смене
ее целей. Характерной чертой развития является то обстоятельство, что
изменение цели, как правило, с неизбежностью приводит к изменению
всей системы.

Для построения математической модели динамического поведения
системы вводится понятие состояния системы.

Состояние системы есть некоторая внутренняя характеристика системы,
значение которой

в настоящий момент времени определяет значение
выходной величины.
Состояние можно рассматривать как некий информационный объект,
необходимый для предсказания влияния настоящего на будущее.
Состояние есть множество Z в уравнении для модели черного ящика.
Конкретизируя множества X, Y и Z, а также отображения множества входов и
состояний на множество выходов, переходят к моделям конкретных систем.

Если время используется как переменная, то по этой характеристике
системы можно разделить на дискретные и непрерывные. Выделяют также
класс стационарных систем, т.е. систем, свойства которых со временем
не изменяются.

Подчиненность реальных систем и их моделей принципу причинности.

Анализ есть совокупность операций разделения целого на части,

в то
время как синтез — объединение частей в целое. Исследовать сложную
систему можно, только используя два указанных метода в совокупности.

Аналитический метод состоит в расчленении сложного целого на все
менее сложные части. Кроме того, он также предполагает, что части снова
образуют единое целое в случае их соединения надлежащим образом.

Целостность системы нарушается при анализе; утрачиваются не только
существенные свойства самой системы, но исчезают и существенные
свойства ее частей, оказавшихся отделенными от нее. Результатом анализа
является лишь вскрытие структуры, знание о том, как система работает,
но ответ на вопрос, почему она это делает так, дает только синтез.

При синтезе знание о частях агрегируется в знание о целом.

При решении задач системных исследований объектами анализа являются
системы

и цели, для достижения которых они проводятся. В результате
анализа решаемые системой задачи разбиваются на подзадачи, системы на
подсистемы, цели на подцели. Этот процесс разбиения продолжается до тех
пор, пока не удастся представить соответствующий объект анализа в виде
совокупности элементарных компонентов. Операция разложения целого на
части называется декомпозицией.

Целевая функция объекта при декомпозиции должна быть представлена
в виде последовательности подцелей, задач, функций, операций.

Для отдельных подсистем объекта обычно проще предложить
математическое описание, чем для всего объекта. В дальнейшем
математическое описание объекта строится как совокупность
математических описаний подсистем.

Проведение декомпозиции существенно зависит от вида объекта, для
которого разрабатывается математическая модель.

Классы объектов декомпозиции

Технической системой называется система, в

которой поставленные цели
могут быть полностью достигнуты в результате протекания внутренних
явлений: физических, физико-химических, тепловых и т.п. Задача
исследователя состоит в определении наиболее благоприятных для
протекания требуемых процессов условий и обеспечении поддержания
необходимых условий на заданном уровне.

Функционирование каждого элементарного объекта, полученного в
результате декомпозиции, должно, по возможности, определяться одной
физической, физико-химической или какой-либо другой закономерностью, и,
следовательно, описываться одним уравнением.

Проведение декомпозиции существенно зависит от вида объекта, для
которого разрабатывается математическая модель.

Классы объектов декомпозиции

Социотехнические, организационные или человеко-машинные системы.

В системах такого типа цели достигаются в результате совместной работы
механизмов, агрегатов, станков и производственного персонала,
осуществляющего производственную деятельность и определяющего
направления функционирования технических средств. Наличие человека —
основная черта организационных систем. Ввиду этого организационные
системы имеют следующие особенности:
• Целенаправленность: человек стремится так определить функционирование
системы, чтобы доля его участия была минимальной: сокращение живого труда.
• Наличие неопределенности: разные исполнители будут иметь различные
результаты: опыт, квалификация, психологическое состояние,
дисциплинированность, - трудно учесть, формализовать.
• Активность: человек как активный элемент системы старается изменить
условия и характер труда в сторону повышения производительности, качества
продукции и пр. Творческий характер участия.

Классы объектов декомпозиции

Социальные системы представляют собой коллектив

людей, участвующий
в некотором едином процессе. Особенностью социальных систем является
то, что отдельные личности помимо общей для всей системы цели могут
иметь еще свои подцели, которые не всегда совпадают с целями системы, а
зачастую могут даже входить с ней в противоречие. Декомпозиция такого
рода систем представляет особые трудности.
Правило: необходимо сопоставление модели объекта с моделью цели
и наоборот.
Операция декомпозиции представляется как выделение в структуре целей
элементарных функций, которые соответствуют элементам модели системы.
Строится дерево целей, в котором цель разбивается на подцели, подцели на
функции, функции на операции и т.д.
Объект декомпозиции должен сопоставляться с каждым элементом
модели. Однако сама модель может с разной степенью детализации
отображать исследуемый объект.

Взаимоотношение между полнотой и простотой модели: до какой степени

детализации следует проводить процесс декомпозиции.
Чем детальнее модель, тем более тонкие эффекты и особенности системы она может отразить и учесть. Но тем труднее получить ее описание, в том числе и из-за недостатка информации.
Декомпозиция объекта проводится путем сопостав-ления объекта с моделью, но сама модель, в свою очередь, тоже подвержена изменениям, следовательно, процесс декомпозиции целесообразно проводить путем постепенной детализации используемых моделей.
Естественно, что такой процесс будет иметь итеративный характер.

Агрегирование — объединение частей в целое (в проти-
воположность декомпозиции).

Цель агрегирования — составление модели систем из
моделей составляющих компонентов.
Задача агрегирования заключается в том, чтобы
сформировать модель системы из моделей элементов и не
упустить при этом тех свойств, которые получаются при
объединении элементов.
Техника агрегирования основана на использовании
определенных моделей исследуемой системы
(экономические, надежности, безопасности и т.п.).
С математической точки зрения, агрегирование опре-
деляют как установление отношений на заданном мно-
жестве элементов.
Результат агрегирования называется агрегатом.

Агрегаты-структуры
Типы структур: сетевые, древовидные, матричные.

В радиотехнике: блок-схема, принципиальная и монтажная схемы.
Функциональные единицы: конденсаторы, диоды, транзисторы, - могут
не иметь пространственно локализованных аналогов, если в
реальности они выполнены в виде интегральных схем.
Агрегаты-операторы
Тип агрегата-оператора имеет место, когда агрегируемые признаки
фиксируются в числовых шкалах. В этом случае задается отношение
на множестве признаков в виде числовой функции многих переменных,
которая и является агрегатом. Основное применение агрегаты-
операторы находят при описании динамических свойств системы.

Формализованное определение агрегата-оператора.
Пусть Т - множество моментов времени; Х- множество

входных сигналов; U - множество сигналов управления; Y - множество выходных сигналов; Z — множество состояний системы. Элементы указанных множеств назовем: tT- моментом времени; хХ- входным сигналом; иU — управляющим сигналом; уY- выходным сигналом; zZ — состоянием системы. Все
перечисленные сигналы будем рассматривать как функции времени: x(t), u(t), y(t), z(t). Под агрегатом-оператором будем понимать объект, определяемый
множествами Т, X, U, Y, Z и операторами H и G, которые являются оператором переходов H и оператором выходов G. Данные операторы реализуют соответственно функции z(t) и y(t).

Рассмотрим оператор переходов Н. Пусть даны состояния системы в

моменты времени t и t + At, т.е. предполагается, что система за время At
переходит из состояния z(t) в состояние z(t + At). Если известно, что в момент
времени t в систему поступают входные сигналы x(t) и управление u(t), то
оператор переходов однозначно определяет состояние системы в следующий
момент времени z(t + At):
z(t + At) = H{t, x(t), u(t), z(t)}.
Аналогично, оператор выходов однозначно определяет значения выходных
характеристик системы и выражается следующим образом:
y(t) = G{t,x(t),u(t),z(t)}.
Если для системы удается представить зависимость ее выходных и
входных параметров, управляющие воздействия и состояния в виде агрегат-
оператора, то получается хорошо формализованная математическая модель.
Ограничивающим фактором для решения такого рода моделей, как
правило, является только лишь большая размерность входящих в нее
параметров.

Агрегаты-статистики
Процессы функционирования реальных сложных систем во многих

случаях
носят случайный характер. Выходные характеристики таких систем
принимают случайные значения из множества величин, описываемых
некоторой функцией распределения F(Q, t), где Q — вектор параметров
закона распределения; t — некоторый момент времени.
Достаточные статистики — это агрегаты, которые извлекают всю
полезную информацию об интересующем параметре из совокупности
наблюдений. Примеры достаточных статистик - параметры нормального
закона распределения — математическое ожидание и дисперсия.
Агрегат как случайный процесс
Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при
любом фиксированном t — to является случайной величиной X(t). Случайная
величина X(t), в которую обращается случайный процесс при t = to,
называется сечением случайного процесса, соответствующим данному
значению аргумента t.

Проект – это некоторое множество операций (комплекс операций).

Операция – это процесс, требующий затрат времени и ресурсов.
Для формального описания операции необходимо задать ее объем W и
зависимость скорости (интенсивности) операции от количества ресурсов, имеющихся для ее выполнения.
Будем обозначать эту зависимость
w = f(u(t)),
где u(t) - вектор ресурсов операции в момент времени t.
Пусть tн - момент начала операции, a t0 - момент ее окончания.
Oбъем операции равен интегралу скорости операции по времени на [ , ]

Задача агрегирования состоит в минимизации времени выполнения проекта при заданном объеме операций, реализующих проект, или максимизации объема на заданном интервале времени.

называется его представление в виде комплекса с наименьшим числом операций.
Размерностью

комплекса операций называется максимальное число независимых операций.
Последовательность операций комплекса, требующая наибольшего времени, называется критическим путем.