4. Элементы теории ошибок геодезических измерений

Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки
4. Основные

правила выполнений вычислений

физических величин (горизонтальных и вертикальных углов, длин линий и др.).
Измерения

любой величины следует рассматривать с двух точек зрения:
количественной, выражающей числовое значение измеренной величины;
качественной, характеризующей точность измерений.
Измерения выполняют с помощью технических средств измерений, которые имеют нормированные метрологические характеристики и (или) хранящие единицу физической величины, размер которой принимают неизменным (в пределах установленной погрешности) в течение некоторого интервала времени.

методом выполнения измерений.
После выполнения измерения и получения числового значения

(результата измерения) производят оценку погрешности измерения.

определяет так называемые условия измерения.
С условиями измерения связаны понятия равноточных

и неравноточных измерений:
- измерения, выполняемые при неизменных условиях, позволяющих считать результаты измерений одинаково надежными, называют равноточными.
- если хотя бы один из факторов определяющих содержание условий измерений будет изменяться, то такие измерения называют неравноточными.
Как правило, результаты геодезических измерений непосредственно не используются, а предварительно подвергаются математической обработке, которая с помощью вычислительных методов и средств приводит результаты измерений к виду удобному для практического использования.

и избыточные (добавочные) измерения:
Необходимыми называют такие измерения, которые позволяют получить

единственный результат прямого или косвенного измерения данной величины.
Избыточные измерения позволяют получить два и более значений определяемой величины. Если одна и та же величина измерена n раз, то одно из этих измерений будет необходимым, а остальные – избыточными.

обуславливают разделение измерений на независимые и зависимые:
Независимыми считают измерения, в

которых отсутствуют погрешности, одинаково искажающие результаты этих измерений. Геодезические измерения, выполненные разными наблюдателями, приборами и методами, в различных внешних условиях являются независимыми;
Поскольку при производстве геодезических измерений наблюдатель, прибор и метод измерений часто остаются неизменными, то полученные результаты будут зависимыми.
Однако анализ влияния этих факторов показывает, что в пределах необходимой для инженерных работ точности возникающими в этом случае зависимостями можно пренебречь.

отклонение результата измерения от его истинного (действительного) значения: ∆=l-x,
где:

∆ - истинная погрешность измерения;
l – результат измерения;
х – истинное значение величины.

такое значение физической величины, которое идеальным образом характеризует ее в

количественном и качественном отношениях.
Действительное значение физической величины – это значение величины, полученное в результате ее измерения и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной задаче может быть использовано вместо него.
Результат измерения представляет собой приближенную оценку истинного значения величины.

признакам:
по характеру происхождения;
по характеру их действия на результаты

измерений и свойствам.

быть обнаружены, изучены и исключены из результатов измерений, то на

результаты измерений основное влияние оказывают случайные погрешности.

случайные погрешности распространяются законы теории вероятностей и математической статистики. Они

обладают свойствами, отвечающими закону нормального распределения Гаусса, а именно:
1. Случайные погрешности по абсолютной величине не могут превосходить известного предела.
2. Малые по абсолютной величине случайные погрешности появляются чаще, чем большие.
3. Случайные погрешности, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, одинаково вероятны.
4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей равноточных измерений стремиться к нулю с увеличением числа измерений:
lim ([∆]/n) = 0
где: [∆] – сумма случайных погрешностей;
n – число измерений.

точности измерений может быть использовано несколько критериев.
В геодезии наибольшее

применение получила средняя квадратичная погрешность, которую вычисляют по формуле Гаусса:
m =
где: - сумма квадратов истинных случайных погрешностей отдельных измерений;
n – число измерений в ряду.

Этот критерий точности достаточно надежно работает при n ≥10/

погрешность может быть вычислена и через поправки V, которые представляют

собой разность между средним арифметическим X и результатом отдельного измерения хi:
Vi = X-xi,
где: Х = [x]/n – среднее арифметическое данного ряда равноточных измерений (арифметическая середина).

При этом среднюю квадратическую погрешность вычисляют по формуле Бесселя:

m =

квадратической погрешности в практике используют среднюю, вероятную и предельную погрешности.
Среднее

арифметическое из абсолютных значений случайных погрешностей называют средней погрешностью.
Вероятная погрешность находиться в середине ранжированного ряда погрешностей, т.е. погрешностей, расположенных в порядке возрастания или убывания их абсолютных величин.
Предельная погрешность – это такое абсолютное значение случайной погрешности, превзойти которое не может ни одна из погрешностей данного ряда измерений. При геодезических работах в качестве предельной используют погрешность, равную 2m, m – средняя квадратичная погрешность.
Если полученная на практике погрешность оказалась больше предельной, то ее относят к числу грубых и исключают из дальнейшей обработки.
Рассмотренные выше погрешности называют абсолютными.

случаях, когда погрешность измерения зависит от измеряемой величины, удобнее пользоваться

относительной погрешностью, которая представляет собой отношение абсолютной m погрешности измерения к самой измеряемой величине M, выраженное в виде дроби:


Знаменатель дроби N показывает, какую часть от измеренной величины составляет погрешность.

задача оценки точности величины, которая непосредственно не измерялась, а была

получена через другие величины, функционально с ней связанные. При этом погрешность функции зависит от точности аргументов, через которые она получена.
Эта задача называется прямой задачей теории погрешностей.

могут быть различными. В общем случае функция имеет вид:
U

= f(x1, x2, …..xn),
где: x1, x2, …..xn – аргументы, которые были измерены соответственно со средними квадратичными погрешностями.
Тогда среднюю квадратическую погрешность функции общего вида можно вычислить по формуле:

mU =

где: - частные производные функции по каждому
аргументу.

для вычисления тех или иных величин. Погрешности попадают в вычисления,

переходят от одной вычислительной операции к другой, накапливают и поражают новые погрешности.

Кроме того, источником погрешностей является операция округления, т.е. процесс приближенного представления чисел с помощью конечного количества цифр. При этом важно не загромождать вычисления лишними цифрами, а ограничивать их нужным числом знаков.

по правилам Гаусса, а именно: чтобы округлить число до n

значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, при этом:
если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения (например, 53,4≈53);
если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней значащей цифре прибавляют единицу (например, 53,7≈54);
если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу (например, 53,51 ≈ 54);
если первая из отброшенных цифр равна 5, а все остальные отброшенные цифры являются нулевыми, то последняя оставшаяся цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (например, 52,50≈52; 53,50≈54).