6. 6. Основные положения волновой механики Шредингера. Стационарные состояния

структура волновой механики Шредингера может быть представлена в виде следующих

основных положений (постулатов), даваемых ниже в формулировке рекомендованного учебника (А.А. Матышева).






(Комментарии:)
Поскольку в общем случае волновая функция задается в пространстве размерности >3, она представляет собой чисто математический объект.
Измерить (многократным повторением одного и того же эксперимента) можно лишь квадрат модуля волновой функции, имеющий смысл плотности вероятности. Следовательно, волновая функция определяется с точностью до
фазового множителя exp (i), где  -- вещественная величина.

кинетической энергии.
Операторы не сопоставляются времени, а также сохраняющимся величинам, характеризующим

микрообъект, но не его состояние -- электрическому заряду и массе.

гармонического осциллятора в возбужденное состояние при поглощении фотона. Он не

описывается волновой механикой.
Несмотря на недетерминированность поведения микрообъекта, поведение его волновой функции при задании начальных условий полностью детерминировано – описывается временным уравнением Шредингера. В этом состоит специфика реализации принципа причинности в квантовой механике.

для коэффициента разложения волновой функции  в ряд по собственным

функциям оператора n .
Данное положение может быть обобщено и на случай непрерывного спектра (собственных значений) оператора. В этом случае вместо ряда будет фигурировать интеграл.

микрообъекта детерминирован, только если его волновая функция совпадает с собственной

функцией соответствующего оператора. Для этого требуются особая процедура приготовления состояния объекта. Эта процедура является частью процесса измерения.
Состояния могут не совпадать с собственными функциями операторов, но быть математически близким к ним. Например, собственными функциями оператора импульса являются плоские волны де Бройля в бесконечном пространстве. Собственные функции оператора координаты имеют вид дельта-функций. На практике ни то, ни другое не может быть реализовано в точности. Однако, можно приготовить состояния с волновыми функциями, близкими у плоским волнам или дельта-функциям, для которых вероятность получения определенного значения проекции импульса или координаты близка к единице.
В состояниях, описываемых волновыми функциями, близкими к плоским волнам, микрообъекты проявляют преимущественно волновые свойства. Такие состояния приготавливаются для проведения дифракционных экспериментов.
В состояниях с волновыми функциями, близкими к дельта-функциям, микрообъекты локализованы в пространстве, подобно классическим частицам.

функций. Собственные функции некоторых операторов совпадают, что позволяет в одном

и том же состоянии точно определять некоторые наборы величин – например, модуль момента импульса, его проекцию и энергию а атоме водорода (см. в соответствующей лекции).
У некоммутирующих операторов нет общих собственных функций. Для соответствующих пар динамических характеристик не могут быть приготовлены состояния, в которых обе такие величины одновременно имели бы точные значения.
Наиболее значимый пример – координата и соответствующая ей проекция импульса. Состояния микрообъекта, требующиеся для достоверного определения этих величин, принципиально различны. Этот факт выражается принципом неопределенности Гейзенберга. Измерение координаты требует приготовления такого состояния микрообъекта (например, с помощью диафрагмы с узкой щелью) в котором результат измерения проекции импульса максимально недетерминирован (вероятности получения любых значений сопоставимы по величине).
Таким образом сочетание корпускулярных и волновых свойств микрообъектов находит объяснение в волновой механике.

для одного микрообъекта массы m, потенциальная энергия которого в статическом

поле выражается функцией :


В классической физике ему соответствует функция Гамильтона, выражающая полную энергию систему через координаты и импульсы частиц:


Этот оператор присутствует в записи основного уравнения волновой механики – временнóго уравнения Шредингера

Среди всех состояний микрообъекта можно выделить стационарные состояния, для которых плотность вероятности 2* в каждой точке не меняется во времени. При этом сама волновая функция изменяется (иначе уравнение
Шредингера не имеет нетривиальных решений), и скорость ее изменения (производная) постоянна. Этим требованиям удовлетворяют функции вида:
, где Е – действительная постоянная, E/ħ имеет смысл некоторой частоты, а – амплитуды осцилляций.

уравнение Шредингера, вычислив производную и сократив экспоненты справа и слева

от знака равенства, приходим к уравнению для «амплитудной» части волновой функции стационарного состояния :

Это уравнение называют стационарным или амплитудным уравнением Шредингера.
(Ранее в одной из лекций те же операции в обратном порядке проделывались при обосновании (не выводе!) временнóго уравнения Шредингера. После того, как его вид был постулирован, приведенные выкладки можно считать строгим выводом стационарного (амплитудного) уравнения.)
В виде
стационарное уравнение Шредингера очевидно является уравнением на собственные значения гамильтониана. Удовлетворяющие ему волновые функции с временной частью

соответствуют состояниям с определенным значением полной энергии E.
(Гамильтониан содержит только пространственные производные и «не действует» на экспоненту, зависящую только от времени.)

, например, в атоме. Нерелятивистская квантовая (волновая) механика позволяет электрону

находиться не только в состояниях с определенными значениями энергии Ek, описываемых волновыми функциями k , но и в «смешанных» состояниях с волновой функцией:


(Уравнения Шредингера линейны, поэтому линейная комбинация их решений также является решением.)
Поскольку набор собственных функций гамильтониана (как и других операторов) обладает свойством полноты, в приведенном виде может быть представлена любая волновая функция.
«Смешанные» состояния отличаются от стационарных тем, что значение энергии для них недетерминировано, а плотность вероятности в каждой точке непостоянна (именно в этом смысле они нестационарны).
Нерелятивистская квантовая (волновая) механика позволяет электрону находиться в любых стационарных и нестационарных состояниях сколь угодно долгое время. В действительности (как известно из опыта), электрон рано или поздно оказывается в основном состоянии – с минимальной (а значит, с определенной) энергией. Это состояние стационарно.

квантовой механикой. Оно описывается более общей теорией – квантовой электродинамикой,

учитывающей квантовый характер электромагнитного излучения (вместо учета электромагнитного поля в виде статического потенциального члена ).
В рамках квантовой электродинамики переход из стационарного состояния с определенной, более высокой энергией (возбужденного) в состояние с также определенной, но более низкой энергией (спонтанная релаксация) происходит в результате спонтанного излучения фотона с частотой, определяемой разницей этих энергий.
Переход из смешанного состояния с неопределенной энергией в основное состояние с определенной энергией также происходит – но фотон при этом излучается с некоторой вероятностью. Эту вероятность задает величина соответствующего коэффициента в разложении волновой функции «смешанного» состояния в ряд по собственным функциям гамильтониана. Частота излученного фотона соответствует разности энергий стационарных состояний – как если бы электрон и изначально находился в одном из них. Возможно излучение фотонов разных частот, соответствующей переходам между разными, но обязательно стационарными состояниями с определенными энергиями.

внешних воздействий при t микрообъект (в том числе, атом)
с единичной

вероятностью оказывается в основном стационарном состоянии.
Взаимодействие атомов с внешними по отношению к ним объектами (поглощение и вынужденное испускание фотонов, атомные столкновения) зачастую происходят с передачей квантов энергии, в результате чего атомы оказываются в одном из стационарных состояний.
Таким образом, несмотря на то, что микрообъекты, согласно положениям нерелятивистской квантовой механики, могут пребывать в «смешанных» состояниях с неопределенной энергией, их взаимодействие с окружением всегда выявляет спектр энергий «чистых» стационарных состояний, то есть, спектр собственных значений гамильтониана.
Вследствие этого, решение квантовомеханических задач зачастую (по крайней мере, на начальном этапе) состоит именно в определении собственных значений оператора Гамильтона.