6. Трехмерное моделирование

качестве ребер выступают отрезки, кривые различных порядков, сплайны и др.

модель описывается в терминах того трёхмерного объема, который занимает определяемое

ею тело, т.е. твердотельное моделирование обеспечивает полное однозначное описание трёхмерной геометрической формы.

выражение.

+ By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz

+ Gx + Hy + Jz + K = 0

Z(t)

четырех коэффициентов. Для этого следует наложить на кривую четыре дополнительных

условия. Такими условиями служат значения кубического сегмента на концевых точках, значения касательного вектора и условия связности между соседними сегментами.

Касательный вектор:

TMG = BG
M – базовая матрица четвертого порядка
G – геометрический

вектор (G = [G1 G2 G3 G4]T)
B – стыковочная матрица (B = TM)

которые задаются концевыми точками P1, P4 и касательными векторами R1,

R4 в них.

Z(t) = TMGz

Q(t) = TMG

G = [P1 P4 R1 R4]T

у которых для определения положения касательных векторов используются специальные контрольные

точки, не принадлежащие самому объекту. Отрезки, соединяющие контрольные точки, образуют выпуклую оболочку контрольных точек. В общем случае выпуклая оболочка может и не касаться всех контрольных точек.

кривой Безье зависят от радиус-векторов P1, P2, P3 и P4,

соединяющих контрольные точки с началом координат:

геометрический вектор Эрмита
Mb, Gb – базовая матрица и геометрический вектор

Безье
Mb – матрица преобразования геометрических векторов

контрольными точками. Кубический B-сплайн задается последовательностью полиномиальных сегментов Q3, Q4,

…, Qm, положение которых зависит от контрольных точек P0, P1, …, Pm (m  3). Сегменты определяются на интервалах ti  t < ti+1, 3  i < m, t3 = 0, ti+1 – ti = 1.

Геометрический вектор i-го сегмента:

z = Z(s, t)
A(s, t) = a11s3t3 + a12s3t2 +

a13s3t + a14s3 + a21s2t3 + a22s2t2 + a23s2t + a14s2 + a31st3 + a32st2 + a33st + a44s + a41t3 + a42t2 + a43t + a44

которых аппроксимируется бикубической поверхностью таким образом, что бы в месте

стыка совпадали не только координаты точек, но и первые производные.

поверхность в форме Безье задается в следующем виде:
X(s, t)

= SMbGbxMbTTT Y(s, t) = SMbGbyMbTTT Z(s, t) = SMbGbzMbTTT

или в форме B-сплайна

X(s, t) = SMsGsxMsTTT Y(s, t) = SMsGsyMsTTT Z(s, t) = SMsGszMsTTT

Y, Z)14, (X, Y, Z)41, (X, Y, Z)44 – координаты

четырех угловых точек;
(X, Y, Z)21, (X, Y, Z)22, (X, Y, Z)12;
(X, Y, Z)13, (X, Y, Z)23, (X, Y, Z)24;
(X, Y, Z)43, (X, Y, Z)33, (X, Y, Z)34;
(X, Y, Z)42, (X, Y, Z)32, (X, Y, Z)31 – концы касательных векторов.

направлении

определяется двумя точками – начала и конца

многоугольники (полигоны) с количеством вершин не более четырех.

пространстве.
1: V1, V2, V4
2: V2, V3, V4
. . .
12:

V3, V9, V10

модели зависит от требуемого качества картинки и от ожидаемой скорости

рендеринга - чем больше вершин, тем выше качество и тем медленнее рендеринг.

Полигональные модели

образуют форму объекта.
Полигональная сетка является практически во всех графических системах

стандартным способом представления широкого класса объемных форм.

куда обращен каждый полигон.
Информация о направлении задается в виде нормали к

плоскости грани.
Нормаль указывает внешнее направление от объекта.

совокупность его граней заключает в себе некоторое конечное пространство;
Связность –

сетка называется связной, если между любыми двумя вершинами существует непрерывный путь вдоль ребер полигона (если сетка не является связной, то обычно она представляет более одного объекта);
Простота – сетка называется простой, если отображаемый ею объект является монолитным и не содержит отверстий (это означает, что объект может быть деформирован в сферу, не подвергаясь разрезанию);
Плоскостность – сетка называется плоской, если каждая грань представляемого ею объекта является плоским полигоном, т.е. вершины каждой грани лежат в одной плоскости;
Выпуклость – сетка представляет выпуклый объект, если прямая, соединяющая любые две точки внутри этого объекта, целиком лежит внутри него.

грани, то полученный вектор показывает направление наружу от грани.

9), V2 = (1, 1, 2).

1);
glEnd();
//грань 1
glBegin(GL_POLYGON);
glNormal3f(0, 0, -1);
glVertex3f(0, 0, 0);
glVertex3f(0, 1, 0);
glVertex3f(1, 0, 0);
glEnd();
//грань

2
glBegin(GL_POLYGON);
glNormal3f(-1, 0, 0);
glVertex3f(0, 0, 0);
glVertex3f(0, 0, 1);
glVertex3f(0, 1, 0);
glEnd();
//грань 3
glBegin(GL_POLYGON);
glNormal3f(0, -1, 0);
glVertex3f(1, 0, 0);
glVertex3f(0, 0, 1);
glVertex3f(0, 0, 0);
glEnd();

Описание тетраэдра в OpenGL

повторений координаты всех вершин;
в массиве нормалей хранятся без повторений компоненты

нормалей к каждой грани;
в массиве граней для каждой грани хранятся индексы вершин из массива вершин и индексы нормалей, ассоциированных с каждой вершиной грани.

ограничивает конечный объем пространства.
Каждое ребро полиэдра принадлежит ровно двум граням;
В

каждой вершине полиэдра встречается не менее трех ребер;
Грани полиэдра не являются взаимопроникающими: две грани не имеют общих точек или пересекаются только вдоль их общего ребра.

вершин V простого многогранника устанавливает формула Эйлера:
V + F –

E = 2.
Обощение этой формулы на непростой полиэдр имеет вид:
V + F – E = 2 + H – 2G,
где H – общее число отверстий, имеющихся в гранях, G – число отверстий в самом полиэдре.

является правильным многоугольником, то объект называется правильным многогранником. Существует всего

пять таких объектов, которые называют платоновыми телами:
Тетраэдр: V = 4, F = 4, E = 6, грани – треугольники;
Гексаэдр: V = 8, F = 6, E = 12, грани – квадраты;
Октаэдр: V = 6, F = 8, E = 12, грани – треугольники;
Икосаэдр: V = 12, F = 20, E = 30, грани – треугольники;
Додекаэдр: V = 20, F = 12, E = 30, грани – пятиугольники.
Нормальный вектор к каждой грани платонового тела – это вектор из начала координат к центру грани, представляющему собой среднее значение вершин.