9.2. Критерии проверки гипотез о законах распределения случайной величины

гипотезы Н0 о том, что независимые одинаково распределенные случайные величины

Х1, Х2, …, Хп имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x).

независимых измерений. Для решения этой задачи введем статистику Т(Xn) критерия

проверки гипотезы Н. Реализация t статистики Т соответствующая выборке хn определяется по формуле

распределенная по известному закону Колмогорова. Для этой величины можно найти

t из условия:
P(Dt)= , (*)
где  - вероятность практически невозможного события, и следовательно, событие (Dt) - практически невозможное.

С точностью до принципа практической уверенности имеем:

что неравенство (t

для отклонения гипотезы Н (с точностью до принципа практической уверенности).
Руководствуясь этими соображениями, принимают следующее правило решения поставленной задачи:
(t(tt)(Н – отклонить).

функции распределения случайной величины.
Алгоритм:
1) Провести независимые n-кратные измерения

СВ Х с непрерывной функцией распределения и получить выборку хn;
2) Исключить из выборки грубые ошибки;

о ФР СВ Х;
5) Вычислить параметр t.
6) Задать

вероятность  практически невозможного события и из таблицы распределения Колмогорова найти параметр t как решение уравнения (*).
7) Принять или отклонить гипотезу
Н=(ХF(x)) по решающему правилу.
Доказано, что критерий А.Н. Колмогорова состоятельный и в общем случае смещенный.

условиях может применяться для меньших объемов выборки. Поскольку результат проверки

признака критерия t зависит от наибольших различий F(x) и F*(x), то нет необходимости построения F(x) и F*(x) на всем диапазоне изменения х; достаточно ограничиться областями наибольших различий F(x) и F*(x).

в формулировании гипотезы о F(x) используются характеристики эмпирических распределений, т.к.

в этом случае статистика Т зависит от F(x); неудобство доставляет также значительная трудоемкость построения статистики Колмогорова А.Н.

о различных законах распределения с применением статистики:

– число разрядов.
Решающее правило состоит в следующем: если pj удовлетворяет

неравенству



то гипотеза Н отвергается, в противном случае Н принимается.

ряд, предварительно задав число разрядов q и установив границы разрядов;
задав

гипотезу о функции распределения или плотности распределения, определяем гипотетические вероятности разрядов

;

, при помощи табл. 2 – распределения находим t;
5)

применяем решающее правило, если (tt), то Н отклоняем, в противном случае Н принимаем.
Достоинства:
относительная простота;
возможность применения для векторной Х;
состоятельность;

точности выводов;
несмещенность при pj=const;
пониженная требовательность к точности xi.
Недостатки:
потери

информации за счет предвари-тельного группирования данных по разрядам;
неопределенность в выборе q и границ разрядов;

объема п с большим количеством различных значений вариант. Для удобства

ее обработки, разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на q равных частей.

задающему середину
интервала. Подсчитав число вариант,
попавших в каждый интервал, составим так
называемую

сгруппированную выборку:
варианты………..х1 х2 … хs
частоты………….n1 n2 … ns ,
где хi – значения середин интервалов, а ni – число вариант, попавших в i-й интервал (эмпирические частоты).

квадратическое отклонение σВ. Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по

нормальному закону с параметрами M(X) = , D(X) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п, которое должно оказаться в каждом интервале при этом предположении (то есть теоретические частоты).

в i-й интервал:

,

где аi и bi - границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки n, найдем теоретические частоты: ni =n·pi.

от друга, и выяснить, являются ли
эти различия несущественными, не
опровергающими гипотезу

о нормальном
распределении исследуемой случайной величины,
или они настолько велики, что противоречат этой
гипотезе.
Для этого используется критерий в виде
случайной величины

случайной величины при стремится к закону распределения с числом степеней

свободы k = q – 1 – r, где r – число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = q – 3.

– уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством

а область принятия гипотезы – .

– нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:

(*)

а по

таблице критических точек распределения 2 найти критическую точку , используя известные значения α и k = q – 3. Если
– нулевую гипотезу принимают,
при ее отвергают.