Слайд 19.2. Критерии проверки гипотез о законах распределения случайной величины.
Слайд 29.2.1. Критерий А.Н. Колмогорова
Критерий А.Н. Колмогорова применяется для проверки простой
гипотезы Н0 о том, что независимые одинаково распределенные случайные величины
Х1, Х2, …, Хп имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x).
Слайд 3Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации случайной выборки
независимых измерений. Для решения этой задачи введем статистику Т(Xn) критерия
проверки гипотезы Н. Реализация t статистики Т соответствующая выборке хn определяется по формуле
Слайд 4Доказано, что (H – истинна)(T=D). Здесь
D – случайная величина,
распределенная по известному закону Колмогорова. Для этой величины можно найти
t из условия:
P(Dt)= , (*)
где - вероятность практически невозможного события, и следовательно, событие (Dt) - практически невозможное.
С точностью до принципа практической уверенности имеем:
Слайд 5(Н – истинна)(t
что неравенство (t
для отклонения гипотезы Н (с точностью до принципа практической уверенности).
Руководствуясь этими соображениями, принимают следующее правило решения поставленной задачи:
(t(tt)(Н – отклонить).
Слайд 6Это правило называют критерием согласия Колмогорова проверки гипотезы о непрерывной
функции распределения случайной величины.
Алгоритм:
1) Провести независимые n-кратные измерения
СВ Х с непрерывной функцией распределения и получить выборку хn;
2) Исключить из выборки грубые ошибки;
Слайд 73) Построить реализацию F*(x) статистической ФР;
4) Выдвинуть гипотезу F(x)
о ФР СВ Х;
5) Вычислить параметр t.
6) Задать
вероятность практически невозможного события и из таблицы распределения Колмогорова найти параметр t как решение уравнения (*).
7) Принять или отклонить гипотезу
Н=(ХF(x)) по решающему правилу.
Доказано, что критерий А.Н. Колмогорова состоятельный и в общем случае смещенный.
Слайд 8Он более чувствителен к различию гипотез, поэтому при прочих равных
условиях может применяться для меньших объемов выборки. Поскольку результат проверки
признака критерия t зависит от наибольших различий F(x) и F*(x), то нет необходимости построения F(x) и F*(x) на всем диапазоне изменения х; достаточно ограничиться областями наибольших различий F(x) и F*(x).
Слайд 9Недостатком критерия является то, что точность его выводов нарушается, если
в формулировании гипотезы о F(x) используются характеристики эмпирических распределений, т.к.
в этом случае статистика Т зависит от F(x); неудобство доставляет также значительная трудоемкость построения статистики Колмогорова А.Н.
Слайд 109.2.2. Критерий Пирсона
Критерий Пирсона (критерий 2) используется для проверки гипотезы
о различных законах распределения с применением статистики:
Слайд 11 Здесь Nj – число Xi в разряде статистического ряда, q
– число разрядов.
Решающее правило состоит в следующем: если pj удовлетворяет
неравенству
то гипотеза Н отвергается, в противном случае Н принимается.
Слайд 12Алгоритм:
по выборке хn , освобожденной от ошибок, строим статистический
ряд, предварительно задав число разрядов q и установив границы разрядов;
задав
гипотезу о функции распределения или плотности распределения, определяем гипотетические вероятности разрядов
;
Слайд 133) вычисляем реализацию t=T(xn) статистики Т(Xn);
4) задавая уровень значимости
, при помощи табл. 2 – распределения находим t;
5)
применяем решающее правило, если (tt), то Н отклоняем, в противном случае Н принимаем.
Достоинства:
относительная простота;
возможность применения для векторной Х;
состоятельность;
Слайд 14возможность применения оценок параметров при формулировании гипотезы Н без потерь
точности выводов;
несмещенность при pj=const;
пониженная требовательность к точности xi.
Недостатки:
потери
информации за счет предвари-тельного группирования данных по разрядам;
неопределенность в выборе q и границ разрядов;
Слайд 15неучет знака разности Nj – npj .
Слайд 169.2.2.1. Проверка гипотезы о нормальном распределении
Пусть получена выборка достаточно большого
объема п с большим количеством различных значений вариант. Для удобства
ее обработки, разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на q равных частей.
Слайд 17 Будем считать, что значения вариант,
попавших в каждый интервал, приближенно
равны числу,
задающему середину
интервала. Подсчитав число вариант,
попавших в каждый интервал, составим так
называемую
сгруппированную выборку:
варианты………..х1 х2 … хs
частоты………….n1 n2 … ns ,
где хi – значения середин интервалов, а ni – число вариант, попавших в i-й интервал (эмпирические частоты).
Слайд 18По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее
квадратическое отклонение σВ. Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по
нормальному закону с параметрами M(X) = , D(X) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п, которое должно оказаться в каждом интервале при этом предположении (то есть теоретические частоты).
Слайд 19Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания
в i-й интервал:
,
где аi и bi - границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки n, найдем теоретические частоты: ni =n·pi.
Слайд 20Наша цель – сравнить эмпирические и
теоретические частоты, которые, конечно,
отличаются друг
от друга, и выяснить, являются ли
эти различия несущественными, не
опровергающими гипотезу
о нормальном
распределении исследуемой случайной величины,
или они настолько велики, что противоречат этой
гипотезе.
Для этого используется критерий в виде
случайной величины
Слайд 21Вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения
случайной величины при стремится к закону распределения с числом степеней
свободы k = q – 1 – r, где r – число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = q – 3.
Слайд 22 Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием
где α
– уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством
а область принятия гипотезы – .
Слайд 23 Итак, для проверки нулевой гипотезы Н0: генеральная совокупность распределена нормально
– нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:
(*)
а по
таблице критических точек распределения 2 найти критическую точку , используя известные значения α и k = q – 3. Если
– нулевую гипотезу принимают,
при ее отвергают.