В мире правильных многогранников

отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л.Кэрролл

равные правильные многоугольники
3) В каждой вершине сходится одинаковое число рёбер
4)

Равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

 грань;
«тетра»  4;
«гекса»  6;
«окта»  8;
«икоса»

 20;
«додека»  12.

Названия многогранников

угол не меньше 120º. С другой стороны, при каждой вершине

многогранника должно быть не менее 3 плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n>=6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120º * 3=360º . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360º.

вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 180º.

Число сторон грани - 3
Число

вершин – 4
Число ребер - 6

Элементы симметрии: Центр симметрии – нет
Осей симметрии - 3
Плоскостей симметрии - 6

вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 270º.

Куб (гексаэдр)

Число сторон грани –

4
Число вершин – 8
Число ребер - 12

Элементы симметрии: Центр симметрии – точка пересечения его диагоналей
Осей симметрии - 9
Плоскостей симметрии - 9

четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.
Правильный

октаэдр

Число сторон грани – 3
Число

вершин – 6
Число ребер - 12

Элементы симметрии:
Центр симметрии – один
Осей симметрии - 9
Плоскостей симметрии - 9

является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 324º.

Число сторон грани – 5
Число

вершин – 20
Число ребер - 30

Элементы симметрии:
Центр симметрии – один
Осей симметрии - 15
Плоскостей симметрии - 15

вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 300º.

Число сторон грани – 3
Число

вершин – 12
Число ребер - 30

Элементы симметрии:
Центр симметрии – один
Осей симметрии - 15
Плоскостей симметрии - 15

Аристокл) – греческий философ, мудрец и математик.
В Афинах в 387

году Платон основал философскую школу – Академию, где большое внимание уделялось математике и, в частности, геометрии, как науке о самых прекрасных мысленных фигурах, а также астрономии. В течение всей жизни его душу волновали также высокие нравственные цели, одной из которых был идеал возрождения Греции.

поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной

великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).
Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.
Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.
Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду.
Куб – самая устойчивая из фигур – землю.
Октаэдр – воздух.
В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и плазменным.
Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Правильные многогранники в философской картине мира Платона

из создателей современной астрономии – открыл законы движения планет (законы

Кеплера), заложил основы теории затмений, изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр - двояковыпуклые линзы.

планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел).

Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел.

Попытка связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников.

октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан

икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому

времени планетами Солнечной системы.
Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.
Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

Модель Солнечной
системы И. Кеплера

правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время

нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис. 7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Икосаэдро-
додекаэдровая
структура Земли

Икосаэдро-додекаэдровая
структура Земли

увеличенному на 2.
Г + В = Р + 2
Формула

Эйлера

Число граней плюс число вершин минус число рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г + В  Р = 2

9. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Задача

V - объем,

S - площадь поверхности, R - радиус описанной сферы, r - радиус вписанной сферы, H - высота.

V - объем,

S - площадь поверхности, R - радиус описанной сферы, r - радиус вписанной сферы, H - высота.

V - объем,

S - площадь поверхности, R - радиус описанной сферы, r - радиус вписанной сферы,

V - объем,

S - площадь поверхности, R - радиус описанной сферы, r - радиус вписанной сферы,

V - объем,

S - площадь поверхности, R - радиус описанной сферы, r - радиус вписанной сферы,