АЛГЕБРА (3-й семестр)

с многочленами, имеющими рациональные, действительные или комплексные коэффициенты. Разумеется, все

результаты предыдущей главы будут справедливы и для таких многочленов. Здесь будут рассматриваться их особые свойства.

являются рассмотрение вопросов:
Основная теорема алгебры
Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел

(т.е. в кольце C[x])
Число корней произвольного многочлена с числовыми коэффициентами
Теорема Виета
Формулы для нахождения корней уравнений 2, 3 и 4 степени

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 (*)

с комплексными коэффициентами тоже.
Основная задача алгебры: нахождение формул для выражения корней уравнения (*) при различных значениях n через коэффициенты с помощью обычных арифметических операций.
Основная задача алгебры (1608г.): нахождение хотя бы "бесформульного" доказательства существования комплексного корня для произвольного алгебраического уравнения вида (*) с комплексными коэффициентами.

если любой многочлен положительной степени из кольца P[x] имеет, по

крайней мере, один корень в поле P.
Определение 2. Полем разложения многочлена f(x) из кольца P[x] называется такое расширение F поля Р, что f(x) в кольце F[х] разлагается на линейные множители.
Замечание 1: определения 1-2 даются для произвольного поля P.
Замечание 2: F – расширение поля P, если P – подполе поля F.

замкнутым.
ОТА была впервые высказана в 1608 году немецким математиком П.Роте.
Первое

аналитическое (не вполне строгое) доказательство ОТА дал в 1746 году Даламбер.
В 1815 году Гаусс привёл окончательное алгебраическое доказательство ОТА.

Основная теорема алгебры (ОТА):
Любой многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один комплексный корень в поле С.

(Без доказательства)

многочлены первой степени.

◘ Пусть p(z) – любой неприводимый в

C[x] многочлен. Так как его степень n≥1, по ОТА он имеет корень z0 в поле С.
Тогда по характеристическому свойству корней: p(z)=(z-z0)q(z).
Но т.к. p(z) – неприводим над С, то q(z) обязан иметь нулевую степень и, следовательно, степень p(z) равна единице.
Если степень p(z) больше единицы, то он приводим, так как p(z)=(z-z0)q(z), и degq(z)1 . ◙

числовыми коэффициентами имеет n комплексных корней, если считать каждый из

них столько раз, какова его кратность.
◘ В силу следствия 1 неприводимые над С многочлены имеют первую степень
и поэтому каноническое разложение f(z) на неприводимые множители можно записать в виде:

где k1+k2+…+km=n, а z1, z2,…,zm - корни f(z) кратности k1, k2,…,km , соотвественно. ◙
Вывод: поле С является полем разложения для любого многочлена с числовыми коэффициентами.

Следствие 1. В кольце C[x] неприводимы только многочлены первой степени.

корни нормированного многочлена f(z)=zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn из кольца С[z], то


(1)


◘ Применим индукцию

по n.
Б.И. При n=1 имеем f(z)=z+c1. Тогда z1= -c1 – единственный корень f(z) и теорема Виета справедлива.

n. Докажем её для многочленов степени n+1.
Пусть g(z)=zn+1+b1zn+…+bnz+bn+1

и z1,z2,…,zn,zn+1 – его корни.
Тогда g(z)=(z-zn+1)·(zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn)= =zn+1+(c1-zn+1)zn+(c2-c1zn+1)zn-1+…+(-cnzn+1).
Учитывая, что для корней z1,z2,…,zn многочлена zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn по предположению индукции справедливы формулы (1), имеем:

=zn+1+(c1-zn+1)zn+(c2-c1zn+1)zn-1+…+(-cnzn+1).
Учитывая, что для корней z1,z2,…,zn многочлена по предположению индукции справедливы формулы (1), имеем:






Таким образом, формулы (1) имеют место и для любого многочлена g(x) степени n+1.
Вывод. Теорема Виета справедлива для многочленов любой степени. ◙

(1)

корнями 2+i, 2–i и –4.

◘ Искомый многочлен имеет вид f(z)=z3+a1z2+a2z+a3.

По

формулам (1) имеем:
–a1=(2+i)+(2–i)–4=0
a2=(2+i)(2–i)–4(2+i)–4(2–i)=11
–a3=(2+i)(2–i)(–4)=–20

Таким образом, f(z)=z3–11z+20. ◙

Виета не ограничивает возможностей её применения к любым многочленам.
В самом

деле, если h(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an и a0≠0, то поделив многочлен h(z) на число a0, получим многочлен




с теми же корнями, что и многочлен h(z);

к многочлену f(x) можно применить формулы Виета (1).

azn = b (1), где a, b  C.
Если, а

= 0 и b = 0, то любое значение х удовлетворяет этому уравнению.
В случае, когда a = 0, b ≠ 0 уравнение (1) не имеет решений.
Пусть а ≠ 0. Тогда уравнение (1) равносильно уравнению:
zn = b / a (1´)
Таким образом, задача решения уравнения (1) свелась к нахождению всевозможных значений корня n-степени из числа b/a. Напомним, что все такие корни можно получать умножением одного из них на все корни n-степени из 1.

Пример 1. Решить уравнение z4 = 64.
◘ Имеем z1 = 4, z2 = – 4, z3 = 4i, z4 = – 4i. ◙

+ c = 0, где a, b, c  C

(а ≠ 0) (2)
Поделив обе части этого уравнения на а, мы получим уравнение z2+(b/a)z+(c/a)=0, которое равносильно уравнению (2). Это уравнение можно переписать в виде:




Отсюда:



Таким образом:

= 0, где a, b, c  C (а ≠

0) (2)

Обычно выражение для z записывают в виде:




Таким образом, формула для решения квадратного уравнения (2) в комплексной области имеет такой же вид, как и в случае действительных чисел. Существенным отличием является то, что уравнение (2) имеет корни в С и при отрицательном дискриминанте b2-4ac.

(3)

(4)
то формула (3)

примет вид




Пример 2. Решить уравнение z2 – 3z + (3 – i)=0
◘ Применяя формулу (5) получим:



т.е. z1 = 2 + i и z2 = 1 – i. ◙

(5)

+ c = 0 (6)

с любыми комплексными коэффициентами a, b и c.
Заменим в уравнении (6) переменную z новой переменной x, связанной с z равенством:
z = x – a/3, (7)
Получим уравнение относительно x, не содержащее квадрата этой переменной:
x3 + px + q = 0 (8)
Найдя корни уравнения (8), мы получим и корни уравнения (6). Остается, научиться решать уравнение вида (8) с любыми комплексными коэффициентами p и q.

(8)

Пусть x0 – любой корень

уравнения (8). Введём вспомогательную переменную y и рассмотрим уравнение:
y2 – x0 y – p / 3 = 0
Его коэффициенты – комплексные числа, и поэтому оно обладает двумя комплексными корнями u и v, причём (по формулам Виета):
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
Подставляя в (8) выражение (9) корня x0, получим (u+v)3+p(u+v)+q=0 или u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0.
Однако из (10) следует 3uv+p=0 и поэтому получаем:
u3 + v3 = – q (11)

u v = – p / 3 (10),

u3 + v3 = – q (11)

С другой стороны, из (10) вытекает:
u3 v3 = – p3 / 27 (12)
Равенства (11) и (12) показывают, что числа u3 и v3 служат корнями квадратного уравнения:
w2 + qw – p3 / 27 = 0 (13)
с комплексными коэффициентами.
Решая уравнение (13), получим:


Отсюда:

(14)

u + v = x0 (9)

u v = – p / 3 (10)



Получаем формулу Кардано, выражающую корни уравнения (8) через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов:



Т.к. кубический радикал имеет в поле С три значения, то формулы (14) дают три значения для u и три для v. Нельзя комбинировать любое значение u с любым значением v: для данного значения u следует брать лишь то из трех значений v, которое удовлетворяет условию (10).

(15)

(14)

u + v = x0 (9)

u v = – p / 3 (10)

Пусть u1 будет одно из трёх значений радикала u. Тогда два других u2 и u3 можно получить умножением соответственно на кубические корни из единицы:



Т.е. u2=u1e1 и u3=u1e2. Обозначим через v1 то значение радикала v, которое соответствует значению u1 радикала u по (10). Два других значения v, соответствующие u2 и u3 будут v2=v1e2, v3=v1e1.

В самом деле, ввиду e1e2=1 имеем: u2v2=u1e1v1e2=u1v1e1e2=u1v1=–p/3, аналогично u3v3=–p/3.

u + v = x0 (9)

u v = – p / 3 (10)
u2v2=–p/3, u2v2=–p/3, u3v3=–p/3.

Таким образом, все три корня уравнения (3) могут быть записаны следующим образом:
x1 = u1 + v1
x2 = u2 + v2 = u1e1 + v1e2
x3 = u3 + v3 = u1e2 + v1e1
Замечание. В случае, когда числа u1 и v1 являются действительными, подставляя в формулу (16) в выражения для x2 и x3 значения e1 и e2, получим явные формулы для нахождения x2 и x3 по известным u1 и v1:

(16)

(16´)

(7) x3 + px + q =

0 (8)



Пример 3. Решить уравнение z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0.
◘ Подстановка (7) z = x – 1 приводит к виду (8):
x3 – 6x – 9 = 0 (здесь p = –6, q = –9).

По формулам (14):
По формуле (16´) находим корни уравнения x3–6x–9=0:



Отсюда (т.к. z=x–1): ◙

16 = 0.
◘ Здесь p = –12, q = 16.

По

формулам (14) находим:



По формулам (16´) находим корни уравнения:
x1 = –4, x2 = x3 = 2
◙

– 5 = 0.
◘ Подставив в него z=x+3, получим: x3–6x+4=0,

т.е. p=–6, q=4. По формулам (14) и (10) находим:


По формулам (16´) находим корни:

Отсюда:
◙