Алгебра логики

вникая в их содержание;
В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в

соответствие логические переменные, обозначаемые латинскими буквами:
Например: A – «Крокодилы летают»
B – «Земля вращается вокруг Солнца»
Если высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0;
Тогда: A = 0, B = 1
Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания;

помощью союза «и» («а», «но») называется операцией логического умножения или

конъюнкцией.
Правило истинности
Составное высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие в него простые высказывания.

высказывания A и B, составим составное высказывание F с помощью

конъюнкции: F = A & B;
Значение логической функции можно определить с помощь таблицы истинности.

без остатка»; S – «Париж – столица России». Сформулировать на

обычном языке высказывание A=S&D. Определить его истинность.
В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность.
Число 376 четное и трехзначное.
Солнце движется вокруг Земли, и Луна – спутник Венеры.
На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.
Правило истинности
Составное высказывание,

образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

A и B, составим составное высказывание F с помощью дизъюнкции:

F = A  B;
Значение логической функции можно определить с помощь таблицы истинности.

– «Париж – столица Франции». Сформулировать на обычном языке высказывание

K=M  N. Определить его истинность.
В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность.
Зимой дети катаются на коньках или на лыжах
Сканер – устройство вывода информации, или Луна – спутник Земли .
На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, или писали самостоятельную работу.

или инверсией
Правило истинности
Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а

ложное - истинным.
Обозначение инверсии: ¬; ¯
Пусть имеется простое высказывание A, составим составное высказывание F с помощью инверсии: F = ¬ A (F = )

– «Париж – столица Франции». Сформулировать на обычном языке высказывание

K=¬M. Определить его истинность. Сформулировать на обычном языке высказывания: A = M&¬N; B=¬M  N
В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность.
Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
Число 5 не составное.
Постройте отрицания следующих высказываний:
Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин».
Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, являются простыми числами.
Коля решил все задания контрольной работы.
Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.
Пусть p=Ане нравятся уроки математики,а q=Ане нравятся уроки химии. Выразите формулы на обычном языке: p&q; ¬p&q; p  ¬q; ¬p  ¬q; ¬(p&q).

«если…, то…» называется операцией логического следования или импликацией
Правило истинности
Составное высказывание,

образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда, когда из истинной посылки (высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)

истинности

Луна сделана из теста. Сформулируйте на обычном языке высказывание

x = a  b. Определите его истинность.
Пусть s = Через Смоленск протекает Енисей, c = 2+4 = 6, n = 2+3=8. Сформулируйте на русском языке высказывания: d = s  c; m = c  s; k = s  n. Определите их истинность.
Пусть p=Ане нравятся уроки математики,а q=Ане нравятся уроки химии. Выразите формулы на обычном языке:
p  q; p  ¬ q; ¬ (p  q)

и только тогда, когда» называется операцией логического равенства или эквивалентностью
Правило

истинности
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического равенства (эквивалентности), истинно только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны

2+4 = 6, n = 2+3=8. Сформулируйте на русском языке

высказывания: d = s  c; m = c  s; k = s  n. Определите их истинность.
Пусть p=Ане нравятся уроки математики,а q=Ане нравятся уроки химии. Выразите формулы на обычном языке:
p  q; p  ¬ q; ¬ (p  q)

–число логических переменных;
Число столбцов = число логических переменных + число

логических операций

B) & (¬ A  ¬ B).

– столица Франции. Сформулировать на обычном языке высказывания: A =

¬S; B = x & s; C=sx; D = s  ¬ x; M = x s. Определить их истинность.
Пусть n=1, m=0. Определить истинность высказывания
Построить таблицу истинности выражений:

равносильными
Доказать равносильность логических выражений
Выяснить, равносильны ли выражения:

высказывание не может быть одновременно истинным и ложным
Закон исключения

третьего: высказывание может быть либо истинным, либо ложным третьего не дано

же высказывание, то в результате получится исходное высказывание
Закон коммутативности:

Закон

ассоциативности:

разработанная английским математиком Джоржем Булем (булева алгебра). Схемные реализации логических

операций называются логическими элементами.

подана логическая единица, то на выходе этого элемента будет логический

ноль, и наоборот.

сигнал на выходе по следующему принципу: если на любой вход

логического элемента ИЛИ будет подана логическая единица, то на выходе элемента будет логическая единица. Если на оба входа подан логический ноль, то на выходе элемента ИЛИ также будет ноль.

сигнал на выходе по следующему принципу: если на любой вход

логического элемента И будет подан логический ноль, то на выходе элемента будет логический ноль. Если на оба входа подана логическая единица, то на выходе элемента И также будет единица.

должно давать на выходе следующие сигналы:
0 + 0 = 00
0

+ 1 = 01
1 + 0 = 01
1 + 1 = 10

Обозначим слагаемые X и Y, результаты P и S, получим таблицу истинности:

Y
S = (X или Y) и не (X и Y)
Логическая

схема полусумматора имеет вид:

математических операций в процессоре сводится к сложению двоичных чисел. Главной

частью процессора является сумматор, который обеспечивает такое сложение.
Полный одноразрядный сумматор должен иметь три входа: X, Y – слагаемые и P0 – перенос из младшего разряда и два выхода: сумма S и перенос P.

тогда, когда хотя бы две логические переменные одновременно принимают значения

1, т.е. перенос реализуется путем последовательного сложения результатов попарного логического умножения входных переменных (X, Y, P0).
Формула переноса имеет вид:
P = (X&Y)(X&P0) (Y&P0)
Логическое выражение для получения суммы в полном сумматоре имеет вид:
S = (X Y P0)& ¬P0 (X&Y&P0)
Многоразрядный сумматор процессора состоит из полных одноразрядных сумматоров. На каждый разряд ставится одноразрядный сумматор, причем выход (перенос) младшего разряда подключен к выходу сумматора старшего разряда.

процессора.
Триггер позволяет запоминать, хранить и считывать информацию (каждый триггер

может хранить 1 бит информации). Триггер можно построить из двух логических элементов «или» и двух логических элементов «не».

и триггер хранит сигнал «0». Для записи «1» на вход

S (установочный) подается сигнал «1». По схеме видно, что триггер переходит в это состояние и будет устойчиво находиться в нем и после того, как сигнал на входе S исчезнет. Триггер запомнил «1», т.е.с выхода триггера можно считать «1». Для того, чтобы сбросить информацию и подготовиться к приему новой, подается сигнал «1» на вход R (сброс), после чего триггер возвратится к исходному «нулевому» состоянию.

область

столица Франции, а число 3 является делителем числа 198. (ложь).
Число

3 является делителем числа 198, или Иркутск – столица Франции. (истина).
Если число 3 является делителем числа 198, то Иркутск – не столица Франции. (истина).
Иркутск – столица Франции тогда и только тогда, когда число 3 является делителем числа 198. (ложь)