Алгебраические системы

с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура)
Обычно операции

< A,  >

Алгебра – алгебраическая система с заданным на нём набором операций

Модель – алгебраическая система с заданным на нём набором отношений

операция *
- полугруппа, если
1) a,bG a*bG
2) a,b,cG

Примеры:

<2Z, +>

элемент и у каждого элемента aG существует нейтрализатор относительно *
-

+>



M = { AM2(R) | det

1) < K, + > - абелева группа

2)

a+bK
2) a,b,cK a+(b+c) = (a+b)+c
3) 0K aK

6) a,bK abK
7) a,b,cK a(bc) = (ab)c

8) a,b,cK a(b+c) = (ab)+(ac)
(b+c)a = (ba)+(ca)

>
Контрпримеры:

Вычитание не ассоциативно

ab=0
 A,BM2(R)
Пример:

1) < K, +,  > - кольцо

Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля – область целостности

 >
Контрпримеры:
Умножение не коммутативно
В M2(R) есть делители нуля
1 – единица

< P, +,  > - кольцо
2) a,bP

Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим – поле

+,  >
Умножение не коммутативно
Например, для элемента 2 обратный 1/2Z

поле, т.е. коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой

Теорема: Любое поле является областью целостности

Доказательство:

Осталось показать, что в P нет делителей нуля

От противного: пусть в P есть делители нуля, т.е. a,bP a0 и b0, но ab=0

 (a-1a)b=1b

Так как a0, то a-1P (a-1a=aa-1=1)

 a-1(ab)=b

 a-10=b

 0=b0

ПРОТИВОРЕЧИЕ

+,  > - область целостности, но не поле