Алгоритмы Прима и Крускала построения остовного связного дерева минимального веса

Викторовна
учитель информатики и
математики МБОУ СОШ №9
с УИОП г.Павлово
2014 год

Прима
Алгоритм Крускаля
Вопросы и задания

ф
9. Наглядное сред-ство представления состава и структуры системы.  

р

е б р о

2. Ненаправленная линия (без стрелки), соединяющая вершины графа.  

п у т ь

ц и к л

п у с т о й

д у г а

д е р е в о

в е р ш и н а

в з в е ш е н н ы й

4. Последователь-ность рёбер и/или дуг, такая, что конец одной дуги (ребра) является началом другой дуги (реб-ра).  

5. Путь, в котором совпадают начальная и конечная верши-ны.  

6. Направленная ли-ния (со стрелкой), соединяющая верши-ны графа.  

7. Граф без ребер.  

10. Граф, в котором нет циклов.  

11. Элемент (точка) графа, обозначаю-щий объект любой природы, входящий в множество объек-тов, описываемое графом.  

12. Граф, ребрам (или дугам) или вершинам которого поставлены в соот-ветствие числовые величины.  

Перейдем к вопросам по вертикали  

ф


р е б р о
п

у т ь

ц и к л

п у с т о й

д у г а

д е р е в о

в е р ш и н а

в з в е ш е н н ы й

1. Последовательность чередующихся вершин и ребер графа при перемещении.  

м
а

ш
р

т

с
м

ж

ы

8. Вершины, прилега-ющие к одному и тому же ребру.  

3. Граф, в котором вершины соединены дугами.  

о

н
ы

4. Граф, в котором каждые две вершины смежные.  

Перейдем к изучению новых понятий

подграф графа G, который содержит все его вершины и каждая

вершина достижима из любой другой.

Остовное связное дерево – подграф, включающий вершины исходного графа G, не содержащего циклы, каждая вершина которого достижима из любой другой.

чтобы в нем не осталось циклов
Основные понятия теории графов Цикломатическое

число

γ = m – n + 1,
m - количество ребер
n - количество вершин

деревнями. От Кошкино до Мышкино идти 10 км, от Мышкино

до Ступино – 3 км, от Кошкино до Малаховки – 6 км, от Малаховки до Черняевки – 12 км, от Кошкино до Ступино – 11 км, от Мышкино до Чернеевки – 5 км, от Кошкино до Чернеевки – 7 км. Как необходимо провести трубу, чтобы она соединяла все пять деревень, и затраты при этом были минимальными?

цикломатическое число.
m (количество ребер) равно 7
n (количество вершин) рано

5
γ = 7 – 5 + 1 = 3

Т.е. три деревни напрямую соединены газовой трубой не будут.

(переходы по щелчку)

необходимо:
1. Представить граф в виде матрицы смежности
2. Найти в матрице

наименьший элемент, соответству-ющий ребру, соединяющему i-ю и j-ю вершины графа

3. Вычеркнуть элементы i-й и j-й строки матрицы

4. Пометить i-й и j-й столбцы матрицы

5. В помеченных столбцах i и j найти наименьший элемент, отличный от уже найденного

6. Повторять пункты 3-5 до тех пор, пока не будут задействованы все вершины графа

(переходы по щелчку)

3
3
3
(переходы по щелчку)

и 3 выделим.
Найдем минимальный элемент в выделенных столбцах.
Он равен 5

5
(переходы

по щелчку)

элемент в выделенных столбцах.
Он равен 7

5

7
(переходы по щелчку)

элемент в выделенных столбцах.
Он равен 6

5
(переходы по щелчку)

щелчку)

– 21 км.

проложить туристический маршрут минимальной длины, проходящий через все города.

цикломатическое число.
m (количество ребер) равно 9
n (количество вершин) рано

6
γ = 9 – 6 + 1 = 4

Т.е. четыре дороги, соединяющие города, не будут включены в туристический маршрут.

(переходы по щелчку)

вершинами.
Отсортировать ребра по возрастанию.
Ребра последовательно, по возрастанию их весов, включаются

в остовное дерево. Возможны случаи:
а) обе вершины включаемого ребра принадлежат одноэлементным подмножествам, тогда они объединяются в новое, связное подмножество;
б) одна из вершин принадлежит связному под-множеству, другая нет, тогда включаем вторую в подмножество, которому принадлежит первая;
в) обе вершины принадлежат разным связным подмножествам, тогда объединяем подмножества;
г) обе вершины принадлежат одному связному подмножеству, тогда исключаем данное ребро.
Алгоритм завершается, когда все вершины будут объединены в одно множество.

шесть одноэлементных подмножеств.

пуск

подграф.
1
6
5
2
3
4
25
18
15
12
20
23
21
19
26
Шаг 2
Образуется связное подмножество вершин {V5, V6}.

пуск

его в остовной подграф.
1
6
5
2
3
4
25
18
15
12
20
23
21
19
26
Шаг 3
Добавляем в подмножество вершин еще

одну {V5,V6,V1}.

пуск

его в остовной подграф.
1
6
5
2
3
4
25
18
15
12
20
23
21
19
26
Шаг 4
Добавляем в подмножество вершин еще

одну {V5,V6,V1,V2}.

пуск

его в остовной подграф.
1
6
5
2
3
4
25
18
15
12
20
23
21
19
26
Шаг 5
Образуется два подмножества {V5,V6,V1,V2} и

{V3,V4} .

пуск

исключаем.
Задача 2
Среди оставшихся ребер найдем ребро минимального веса и добавим

его в остовной подграф.

1

6

5

2

3

4

25

18

15

12

20

23

21

19

26

Шаг 6

Подмножества объединяются в единое связное множество {V1,V2,V6,V5,V3,V4} .

пуск (2)

их вершины уже принадлежат одному связному множеству.
1
6
5
2
3
4
25
18
15
12
20
23
21
19
26
Итог

Получили остовное связное

дерево минимального веса, равного 85.

все вершины
Все вершины в графе можно
соединить маршрутами
В графе отсутствуют

циклы

В граф последовательно включались ребра,
отсортированные по возрастанию весов

остовным

связным

деревом

с минимальным весом

бытовки. Для того, чтобы телефонные линии не мешали строительству, их

решили проводить вдоль дорог. Схема участка изображена на рисунке.

Каким образом провести телефонные линии, чтобы их общая длина была минимальной?

Ответ

Общая длина телефонной линии равна 930 метров

и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 11 класса / Н.Д.Угринович.

– М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010.
Алгоритм Прима-Крускала (видео) http://www.youtube.com/watch?v=vm_9-vnV7PE
Занимательные задачи по теории графов: Учеб.-метод. пособие/ О.И.Мельников. – Изд-е 2-е, стереотип. – Мн.: «ТетраСистемс», 2001