Аналитическая геометрия в пространстве

включает четыре основные темы:

1. Плоскость

2. Прямая в пространстве
3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
4. Поверхности 2-го порядка

перпендикулярно
заданному вектору


2. Общее уравнение плоскости

- вектор нормали

3. Уравнение плоскости « в отрезках»

Условие компланарности векторов

координат.
Z
Y
X
2
3
4
Можно привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках»
1) Переносим вправо

свободный член уравнения

2) Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части

3) Выбираем коэффициенты из числителей

Числа, стоящие в знаменателях, являются длинами отрезков, которые
плоскость отсекает на осях координат

плоскости с осями OX и OY.
Соединяем точки прямой линией и

получаем
след плоскости на плоскости XOY.
Из точек пересечения проводим
прямые, параллельные оси OZ.

Z

Y

X

10/3

-2

Аналогично строятся все плоскости,
в уравнении которых отсутствует одна
переменная

X

Y

Z

7

2

X

Y

Z

2

3

y. Такая плоскость
проходит параллельно и оси OX , и

оси OY, т.е. она проходит
параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3 на оси OZ.

Z

Y

X

8/3

0

Аналогично строятся плоскости,
в уравнениях которых отсутствуют
две переменные

Z

X

Y

0

Z

X

Y

9/4

3/5

0

одна переменная, то плоскость проходит параллельно той оси координат, переменной

которой нет в уравнении.
2. если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.
3. Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, то плоскость проходит параллельно координатной плоскости, переменных которой нет в уравнении.
Уравнения координатных плоскостей

- уравнение плоскости YOZ

- уравнение плоскости XOZ

- уравнение плоскости XOY

угла между плоскостями
Угол между плоскостями – это угол между векторами

нормалей этих плоскостей

до плоскости

находится по формуле

Правило: для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно
координаты точки подставить в левую часть уравнения плоскости,
разделить на длину вектора нормали плоскости и полученное значение
взять по абсолютной величине.

Расстояние – величина всегда положительная

!

Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость

заданную точку параллельно

заданному вектору

- канонические уравнения

- направляющий вектор

2. Параметрические уравнения

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

и

Направляющий вектор
б) Нахождение точки

на прямой

- канонические уравнения прямой

в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому
угол между прямыми – это

угол между направляющими векторами

2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Условие параллельности прямых

Условие перпендикулярности прямых

прямой и плоскости
2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью
считается угол между этой

прямой
и ее ортогональной проекцией на
эту плоскость. На рисунке это угол .

Из уравнений прямой и плоскости
известны направляющий вектор
прямой и вектор нормали плоскости.

Косинус угла между этими векторами легко можно найти.
Легко заметить, что углы и в сумме дают 90 градусов, а значит

Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят
не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как
синус угла в данной ситуации может быть только положительным

и плоскости нужно
составить систему из уравнений прямой и плоскости
Для

того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в
параметрический вид

Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости

Из этого уравнения находим параметр и подставляем его значение
в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения

прямой в пространстве – есть уравнения линейные относительно переменных

и

Уравнение поверхности 2-го порядка

квадратичная часть

линейная часть

.

К поверхностям 2-го порядка относятся :
сфера, эллипсоид, гиперболоиды, конусы, параболоиды и цилиндры.


Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип
поверхности, привести само уравнение к каноническому виду и
построить поверхность в системе координат.

,

равноудаленных от одной точки, называемой центром
Уравнение сферы со смещенным центром

Уравнение сферы с центром в начале координат

В уравнение сферы входят квадраты трех переменных,
причем коэффициенты при квадратах и знаки
при них одинаковые.

!

полуоси эллипсоида.
Центр этого эллипсоида находится
в начале координат.
Уравнение эллипсоида с

центром в точке имеет вид

Признаки уравнения эллипсоида:
Наличие квадратов всех трех переменных
Одинаковые знаки при квадратах переменных
Разные коэффициенты при квадратах переменных

Признаки уравнения однополостного гиперболоида:
Наличие квадратов всех

трех переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения,
в правой части плюс 1.

полуоси

В зависимости от знака перед единицей в правой части гиперболоиды делятся на одно и двуполостные.

перед какой переменной в каноническом уравнении стоит знак минус.
Однополостный

гиперболоид
с осью симметрии OY

Однополостный гиперболоид
с осью симметрии OX

Признаки уравнения двуполостного гиперболоида:
Наличие квадратов всех трех

переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Два знака минус в уравнении: один при квадрате переменной
в левой части уравнения, другой в правой части при 1.

полуоси

Если из уравнения выразить z, то получим

Т.к.

, то получается, что

Двуполостный гиперболоид на проходит через начало координат.

два знака минус в уравнении.
Один знак минус

оставляем в левой части уравнения, а второй поставим перед единицей в правой части. В таком случае легко определить ось симметрии гиперболоида: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии.

Признаки уравнения конуса:
Наличие квадратов всех трех переменных
Разные знаки

при квадратах переменных
Свободный член в правой части уравнения равен нулю.

Каноническое уравнение конуса от уравнений гиперболоидов отличает то, что в правой части уравнения стоит не единица, а ноль. Если один знак минус оставляем в левой части уравнения,
то ось симметрии конуса определится также, как и для гиперболоидов: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии. Для данного уравнения – это ось OZ.

с осью симметрии OY
Конус с осью симметрии OX

отсутствует квадрат одной переменной.
В зависимости от знака между квадратами

двух других переменных различают эллиптические и гиперболические параболоиды

Признаки уравнения эллиптического или кругового параболоида:
Отсутствие квадрата одной из переменных
Одинаковые знаки при квадратах переменных в левой части уравнения

Эллиптический
параболоид

Круговой
параболоид

Если

то

является присутствие всех трех переменных, но одно из них входит

в уравнение только в первой степени, т.е. в уравнении параболоида отсутствует квадрат одной переменной. Ось симметрии параболоида параллельна той оси, координата которой в уравнении только в первой степени.

параболоид с осью симметрии OY

параболоид с осью симметрии OX

Можно записать один из видов параболоидов со смещенной вершиной

- вершина параболоида

Возможна также смена направления чаши параболоида.
Если в каноническом уравнении в правой части стоит знак минус,
то параболоид направлен в отрицательном направлении оси симметрии.

где

параболоида:
Отсутствие квадрата одной из переменных
Разные знаки при квадратах переменных в

левой
части уравнения

Отличительным признаком уравнения гиперболического параболоида
является то что в левой части уравнения между квадратами
переменных знак минус.

Эта поверхность имеет форму седла.

Возможны различные варианты ориентации гиперболического параболоида
в зависимости от оси симметрии, знаков при квадратах.

оставаясь параллельно самой себе движется вдоль некоторой кривой, называемой направляющей.

По названию направляющей получают свое название и цилиндры.

Если образующая параллельна какой-либо оси координат, то каноническое уравнение цилиндра не содержит в уравнении соответствующую переменную. В этом случае уравнение цилиндра повторяет уравнение своей направляющей. Вариантов различных уравнений цилиндров достаточно много.

Для построения цилиндра нужно построить направляющую в той плоскости, в которой она задана, а затем «тянуть» эту линию вдоль той оси, координата которой отсутствует в уравнении.

Признаки уравнения цилиндрической поверхности:
В уравнении цилиндрической поверхности отсутствует
одна переменная.

изображен цилиндр с осью симметрии OZ.
Для построения цилиндра строим окружность

радиуса R в плоскости XOY,
а затем «превращаем» эту окружность в цилиндр, вытягивая
вдоль оси симметрии.
Можно построить цилиндр и таким способом: нарисовать две или несколько
одинаковых окружностей параллельных друг другу на разной высоте,
а затем соединить их образующими параллельными оси симметрии.

Направляющей линией является окружность.

цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскости

XOY,
а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии.

По внешнему виду при схематическом построении эллиптический и круговой
цилиндры выглядят одинаково.

Направляющей кривой являются эллипсы

цилиндров обязательно нужно
правильно определить мнимую и действительную оси гиперболы

и ось
симметрии самого цилиндра.

В качестве направляющей этих цилиндров служит гипербола.

симметрии OX
ось симметрии OY
ось симметрии OY
При построении цилиндра нужно определить

основные параметры параболы:
координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей, построить
параболу, а затем уже строить цилиндр с соответствующей осью симметрии.

Направляющей этих цилиндров является парабола.