Аналитическая геометрия в пространстве

точку

- вектор нормали

3. Уравнение плоскости « в отрезках»

,

Условие компланарности векторов

Исходное уравнение:

Подставляем координаты точки и вектора

Раскрываем скобки

Приводим подобные

Получили общее уравнение плоскости.

данном случае можно воспользоваться формулой уравнения плоскости, проходящей через три

Подставляем в это уравнение координаты точек и раскладываем
определитель по элементам первой строки

координат:
Z
Y
X
2
3
4
2. Привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках»:

y. Такая плоскость
проходит параллельно и оси OX , и

Z

Y

X

8/3

0

Аналогично строятся плоскости,
в уравнениях которых отсутствуют
две переменные

параллельно той оси координат, переменной которой нет в уравнении.

- уравнение плоскости YOZ

- уравнение плоскости XOZ

- уравнение плоскости XOY

угла между плоскостями
Угол между плоскостями – это угол между векторами

до плоскости

Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость

до плоскости
Используем формулу расстояния от

заданную точку

- канонические уравнения

- направляющий вектор

2. Параметрические уравнения

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

и

Направляющий вектор

в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому
угол между прямыми – это

2. Проверка условий параллельности и
перпендикулярности прямых

Условие параллельности прямых

Условие перпендикулярности прямых

от точки

На векторах


И строим
параллелограмм. Высота этого параллелограмма – искомое расстояние.

Высоту находим как отношение площади параллелограмма к длине основания. Площадь параллелограмма – это модуль векторного произведения векторов, а длина основания – это длина вектора

до прямой
d
Искомое

и

Площадь параллелограмма находим, используя векторное произведение

Длина основания – это длина вектора

Расстояние от точки до прямой

и плоскости
2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью-
угол между этой прямой

Из уравнений прямой и плоскости
известны направляющий вектор
прямой и вектор нормали плоскости.

Угол между этими векторами -
Так как в сумме углы дают 90 градусов, а значит

Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят
не косинус, а синус угла. Так как синус угла между прямой и плоскостью может быть только положительным, то:

Используем уравнение

Координаты точки нам известны. Необходимо найти координаты вектора нормали. Из рисунка видно, что в качестве вектора нормали можно взять вектор, являющийся векторным произведением данных в условии задачи векторов, так как такой вектор перпендикулярен каждому из данных векторов, а значит перпендикулярен и плоскости.

Итак,

Подставляем все данные в уравнение плоскости

Для составления уравнения плоскости есть точка

Основное уравнение:

Остается только подставить
все данные в уравнение.

что в качестве
вектора нормали плоскости можно
взять направляющий вектор прямой
Таким образом,

Основное уравнение плоскости

координат одинаковые отрезки
Для решение задачи используем уравнение плоскости «в отрезках»
Отрезки

или

Для нахождения подставляем в это уравнение координаты точки

Итак, уравнение плоскости:

прямой
6. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две
точки
В качестве направляющего

Уравнения прямой:

В качестве направляющего вектора можно использовать любой вектор,
параллельный оси OY. Самый простой вектор – это единичный вектор оси OY

и

! Использовать можно координаты любой точки

что в качестве
направляющего вектора прямой можно
взять вектор нормали плоскости
Таким образом,

Канонические уравнения прямой