ANALIZA WSPÓŁZALEŻNOŚCI ZJAWISK

regresji
Badanie niezależności dwóch cech jakościowych

(niekoniecznie przyczynowo-skutkowy) miedzy badanymi cechami (zmiennymi) oraz jaka jest jego

siła i kierunek

REGRESJA daje możliwość oszacowania (estymacji) wartości jednej cechy (zmiennej zależnej, objaśnianej) na podstawie wartości przyjmowanych przez drugą cechę (zmienną niezależną, objaśniającą)

FUNKCJA REGRESJI, której parametry można oszacować przy pomocy metody najmniejszych kwadratów (MNK). Równanie opisujące związek statystyczny między zmiennymi nazywa się równaniem lub modelem regresji.

meteorolog, antropolog, kryminolog. Pisarz, lekarz.
W 1899 r. w pracy

„Naturalna dziedziczność” ogłosił, że rozmiary nasion groszku pachnącego mają tendencję w kolejnych generacjach do powracania (to regress) do swego średniego rozmiaru, podobnego związku dopatrzył się także między wzrostem syna i ojca itd.
Dopasowywał do tych par liczb linię prostą opisującą tę zależność

wskazać, która ze zmiennych stanowi przyczynę zmian, a która ilustruje

skutek. Przykładem zależności przyczynowej może być związek pomiędzy stażem pracy (przyczyna) i wysokością zarobków (skutek).

Zależność pozorna – pomiędzy dwoma zjawiskami wydaje się istnieć zależność, ale jest ona wywołana istnieniem wspólnej przyczyny. Przykładowo waga i poziom cholesterolu w organizmie wydają się być powiązane ze sobą, niemniej jednak jest to zależność pozorna. W rzeczywistości posiadają wspólną przyczynę – ilość i rodzaj spożywanych produktów

Zależność korelacyjna – zależność w której dla konkretnej wartości jednej zmiennej Xi (zmienna objaśniająca) odpowiada średnia arytmetyczna z kilku wartości drugiej zmiennej Y1, Y2, ...(zmienna objaśniania).

zależna – zmienna, której wartości są w mniejszym lub większym

stopniu kształtowane przez zmienną niezależną (zmienne niezależne).  

Stwierdzenie braku zależności w jednych okolicznościach, nie przesądza o jej nieistnieniu w innych okolicznościach

Wykres korelacyjny (rozrzutu) – dla każdego i-tego przypadku nanosimy na układ współrzędnych punkt o współrzędnych (Xi, Yi), gdzie Xi i Yi to kolejne wartości badanych zmiennych.

punktów. Obliczenia rozpoczynamy od ustalenia średnich dla zmiennej X (czas

pisania) oraz Y (liczba punktów):

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

dodatnia, b.silna

cech w przypadku gdy: 
Cechy są mierzalne, a badana zbiorowość jest

nieliczna.
Cechy mają charakter jakościowy i istnieje możliwość ich uporządkowania.
 
Współczynnik korelacji rang Spearmana stosuje się do analizy współzależności obiektów pod względem cech X i Y.
 
Kolejne etapy wyznaczania współczynnika korelacji rang Spearmana są następujące:
 
Jednostki danej zbiorowości statystycznej, ze względu na wielkość odpowiadającej im pierwszej cechy, porządkuje się.
Tak uporządkowanym ze względem na pierwszą cechę jednostkom, przypisuje się kolejne numery począwszy od 1. Jeżeli kilka jednostek ma tę samą wielkość cechy, wtedy z odpowiadających im kolejnych rang oblicza się średnią arytmetyczną i przydziela wszystkim jednostkom, z których ta średnia została obliczona. Następna jednostka otrzymuje już najbliższą, niewykorzystaną dotąd rangę. Ostatni numer powinien równać się łącznej liczbie jednostek.
Następnie dla jednostek drugiej cechy w analogiczny sposób przypisuje się numery począwszy od 1 (dla jednostki o najniższej lub najwyższej wartości).

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA

niezależnych (predykatory, zmienne wyjaśniające) a zmienną zależną (zmienna wyjaśniana) przedstawiamy

w postaci tak zwanej funkcji regresji.
 
Poniżej przedstawiono przykłady wykorzystania modeli regresji do rozwiązywania praktycznych problemów:
 
Określenie zależności pomiędzy wiekiem, poziomem wykształcenia (mierzonym na przykład przez liczbę lat), stażem pracy a wysokością zarobków w danej branży.
Określeniem wpływu działań marketingowych (mierzonych na przykład wydatkami na reklamy telewizyjne, prasowe, billboardy, etc.) na przyszłą sprzedaż produktu.
Określenie wpływu wieku, wagi, aktywności ruchowej (mierzonej na przykład liczbą godzin w tygodniu przeznaczoną na uprawianie sportu) a kondycją fizyczną (mierzoną na przykład wynikiem biegu na 1km).

FUNKCJA REGRESJI

Karola był pomocnikiem murarskim i swojego syna początkowo przeznaczał do

podobnej kariery. Na szczęście niepospolity talent młodziutkiego Gaussa objawił się na tyle wcześnie i w sposób tak ewidentny, że znalazł się oświecony i możny sponsor, dzięki któremu matematyka nie straciła jednego ze swoich najwybitniejszych uczonych. Nauczycielu matematyki kazał swoim uczniom (8-9letnim) obliczyć sumę liczb od 1 do 100. Karol po pięciu minutach przedstawił kartkę z rzeczywiście króciutkim wywodem:

101x50=5050

Jeszcze jako uczeń gimnazjum Gauss sformułował metodę najmniejszych kwadratów

Funkcja regresji to analityczny wyraz przyporządkowania średnich wartości zmiennej zależnej

konkretnym wartością zmiennej niezależnej.
 
Dużym problemem jest wybór postaci analitycznej funkcji dla danego problemu. Ułatwieniem może być sporządzenie m.in. wykresu rozrzutu, gdzie dla każdej (i-tej) pary wartości zmiennej niezależnej (X) i zmiennej zależnej (Y) tworzymy punkt o współrzędnych Xi, Yi.
 
Jeżeli zmiennych niezależnych jest więcej, wówczas konstruujemy odpowiednio większą ilość wykresów rozrzutu, przedstawiających zależność pomiędzy każdą zmienną niezależną (oś pozioma) a zmienną niezależną. Z wykresu (wykresów) odczytujemy prawdopodobny rodzaj zależności pomiędzy zmiennymi niezależnymi a zmienną zależną.

FUNKCJA REGRESJI

pomiędzy zmienną niezależną X a zmienną zależną Y ma charakter

liniowy.
 
Naszym zadaniem jest wyznaczenie liniowej funkcji regresji, o ogólnej postaci:
 
y = a + bx
 
Gdzie:
 
y  - wartość przewidywana na podstawie wartości x
a   - parametr a jest nazywany wyrazem wolnym i odpowiada wartości funkcji y dla argumentu x = 0
b   - współczynnik kierunkowy, który decyduje o tym, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca oraz jak szybko następują zmiany (jeśli b jest dodatnie, to funkcja jest rosnąca – to znaczy, im większe wartości zmiennej x, tym większe wartości funkcji, czyli y)
 
Do wyznaczenia parametrów tej funkcji (a i b) wykorzystuje się metodę najmniejszych kwadratów.

FUNKCJA REGRESJI

I tak, na wielkość popytu na dany produkt oprócz jego

walorów użytkowych wielki wpływ ma marka. Dotyczy to w szczególności takich produktów jak samochody, odzież, zegarki czy sprzęt elektroniczny. W analizie wydajności pracy w rozmaitych zawodach istotną rolę odgrywa płeć pracownika. Ma ona także wpływ na wynagrodzenie.
To ostanie z kolei w sposób oczywisty zależy od stanowiska. Wielkość dochodów ludności zależy od kraju, który ona zamieszkuje, itd.
Podobne wielkości występują przy analizie rozmaitych procesów chemicznych czy fizycznych (np. rodzaj użytego tworzywa, sposób (technika) obróbki, itp.)
Wartości zmiennej jakościowej nazywamy kategoriami lub wariantami.
Jeśli różnych kategorii zmiennej jakościowej jest stosunkowo niewiele, to zmienną taką możemy łatwo włączyć do modelu regresji.

współzależności zwykle rozpoczynamy od utworzenia tabeli krzyżowej. W pierwszej kolumnie

warianty cechy X, natomiast w pierwszym wierszu tabeli umieszczamy warianty zmiennej Y. Możliwe jest także utworzenie tabeli krzyżowej dla zmiennych ilościowych, mierzonych na skali przedziałowej lub ilorazowej. Wówczas gdy liczba wszystkich przyjmowanych wartości przez zmienną X i Y (liczbę możliwych wartości będziemy oznaczać symbolami k i l) jest względnie mała, wpisujemy je wszystkie w odpowiednie wiersze i kolumny. W przypadku dużej liczby możliwych wartości niezbędne jest ich pogrupowanie przy użyciu przedziałów klasowych.

WSPÓŁZALEŻNOŚC CECH JAKOŚCIOWYCH

zmienną Y przyjęliśmy Ukończenie studiów MBA. Obie zmienne są jakościowe,

wyrażane przy pomocy skali nominalnej. Obie posiadają dwa możliwe warianty (k = l = 2).

WSPÓŁZALEŻNOŚC CECH JAKOŚCIOWYCH