Цепи с распределенными параметрами. Основные понятия.

напряжения и токи в линии.
Ранее в курсе ТОЭ рассматривали цепи

с сосредоточенными параметрами. В них можно выделить элементы, в которых запасается энергия магнитного поля, электрического поля, происходят необратимые преобразования
электромагнитной энергии в другие виды энергии. Эти явления учитывают
элементы резистивный, индуктивный, емкостный. Под цепями с распределенными параметрами понимают такие цепи, в которых энергии электрического и магнитного полей, а также необратимые
преобразования энергии (потери в виде тепла) распределены равномерно или неравномерно вдоль цепи (ее длины). К цепям с распределенными параметрами относят ЛЭП, линии телефонной связи, антенны приемно-передающих устройств. Обмотки электрических машин и трансформаторов тоже можно считать цепями с распределенными параметрами. Рассмотрим двухпроводную однородную линию электропередачи. Однородной называют линию, параметры которой равномерно распределены вдоль ее длины. Это идеализированная линия, так как учитывают изменение параметров от влияния провиса проводов и неравномерности поверхности земли.

на каждом участке и могут меняться в пределах одного участка.

На рис. изображен элементарный участок линии:
длина элементарного участка,
I и u – ток и напряжение в начале
участка,
ток в конце участка,

напряжение в конце участка. Такой элементарный участок обладает параметрами:
первичные параметры однородной линии, т. е. параметры линии на единицу длины. Их считают обычно известными и постоянными.

участок линии длиной dx
можно представить в виде Г-образного
четырехполюсника,

саму линию – в
виде совокупности П- или Т-образных
четырехполюсников, включенных по-
следовательно.
Линию в целом можно рассматривать
как симметричный четырехполюсник относительно входных и выходных зажимов.
Уравнения однородной линии
Напряжение и ток линии зависят не только от времени, но и от про-
странственной координаты х (от точки линии):
Координату х можно отсчитывать от начала линии, конца или любой
точки, принятой за начало отсчета. Начало линии – точка подключения ли-
нии к генератору, конец линии – точка подключения нагрузки к линии.

что вся
нагрузка сосредоточена в конце линии, линия не имеет

ответвлений.
Исследовать линию – это значит найти зависимости
в любой точке линии в любой момент времени.
Определим изменение напряжения на участке dx, которое равно сумме
падений напряжений на элементах этого участка:
На рис. Выше видно, что

тогда

Изменение тока в пределах этого участка равно сумме токов утечки в
элементах этого участка:

Отсюда

с использованием частных производных, так как
напряжения и токи зависят

от двух координат: t и x.
Если за начало отсчета принять конец линии и координату до рассматриваемой точки линии обозначить х′ , то получим систему уравнений (ниже), аналогичную системе (выше) но в левой части знаки изменятся на противоположные: Решение системы относительно напряжений и токов можно получить однозначно при известных начальных и граничных условиях.
Начальные условия – это значения токов и напряжений в начале или конце линии для момента времени 0 = t .

конце линии в зависимости от режима работы линии.
Синусоидальные напряжения

и токи в линии
Если линия подключена к источнику синусоидального напряжения с
частотой f, то напряжение и ток установившегося режима изменяются по си-
нусоидальному закону с той же частотой.
В системе уравнений перейдем от мгновенных значений к комплексным. Комплексные значения зависят от х и не зависят от t, так как комплекс сопоставляют вектору в момент времени
Поэтому получаем систему уравнений не в частных производных, а в
обыкновенных (полных):



Где комплексное продольное сопротивление на единицу длины линии;
комплексная поперечная проводимость на единицу длины линии.

можно получить соответственно дифференциальное уравнение для напряжения или тока. Продифференцировав

первое уравнение и подставив в него значение из второго, получим

Обозначим коэффициент распространения.
Тогда уравнение примет вид

Как известно из математики, решение этого уравнения есть сумма двух
экспоненциальных функций:
где комплекс действующего значения напряжения для любойточки линии;
постоянные интегрирования; корни характеристического уравнения,

как нужно искать еще две постоянные интегрирования. Более рационально найти

ток из первого уравнения системы :




Комплексное выражение зависит от первичных параметров и имеет размерность сопротивления. Его называют характеристическим или волновым сопротивлением линии и обозначают



Тогда комплекс действующего значения тока для любой точки линии
можно записать следующим образом:

мгновенному значению напряжения

При этом учтем, что постоянные интегрирования и коэффициент распространения являются комплексными числами:


где коэффициент затухания, характеризующий степень убывания амплитуды; коэффициент фазы, характеризующий изменение фазы.
Мгновенное значение напряжения

Если считать координату х фиксированной, то первое слагаемое изменяется по синусоидальному закону с постоянной амплитудой напряжения.
Если считать фиксированным время, то напряжение меняется по синусоиде, затухающей по экспоненте.
Убывание амплитуды волны вдоль линии обусловлено потерями в линии, а изменение фазы – конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.

распространение
волны вдоль линии, поэтому γ назвали коэффициентом распространения.
На

рис. приведены волны
напряжения для двух моментов
времени
Волна перемещается от начала
линии к концу с постоянной ско-
ростью υ.
Первая составляющая напряжения имеет максимальную амплитуду
в начале линии и минимальную в конце. Эта составляющая напряжения движется от начала линии к концу со скоростью υ. Эту волну называют бегущей (прямой или падающей составляющей). Так как второе слагаемое имеет амплитуду (со знаком плюсом), то она достигает максимального значения в конце линии. Эту волну называют обратной или отраженной. В фазе колебания второе слагаемое со знаком плюс, поэтому фазовая скорость

что и первая, но от конца линии к началу.
Напряжение

имеет
положительное направление от
него (первого) провода к нижнему
(второму) и состоит из суммы двух
составляющих с такими же положи-
тельными направлениями:

Аналогично можно получить мгновенное значение тока:


Результирующий ток и его прямая составляющая совпадают по на-
правлению и направлены от начала к концу линии, обратная составляющая направлена от конца к началу линии.

(волновое) сопротивление каждой волны.
В комплексной форме можно записать

Напряжение

и ток сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол θ .
Мощности в цепях с распределенными параметрами для каждой волны
определяют так же, как в цепях с сосредоточенными параметрами.
Например, комплексная мощность прямой волны

Активная мощность прямой волны

Представление напряжений и токов в виде прямой и обратной составляющих есть математический прием, который облегчает анализ таких цепей.
Реально в цепях с распределенными параметрами существуют результирую-
щие напряжения и токи.

цепей с
сосредоточенными параметрами?
2. Какие уравнения используют при анализе

процессов в линиях?
3. Чем частные производные отличаются от полных?
4. Каков физический смысл слагаемых напряжения в уравнении одно-
родной линии?
5. Как вычислить активную мощность?