Числовая последовательность. Способы задания последовательности. Предел

понятие предела числовой последовательности

развить навык вычисления пределов числовых последовательностей
1
2
3

природы, которые можно пронумеровать!

натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают : y=f(n).

последовательность – каждый следующий член не меньший от предыдущего

3) Убывающая последовательность –

каждый новый член меньше предыдущего

4) Невозрастающая последовательность – каждый старший член не больше предыдущего

5) Ограниченная последовательность имеет место тогда, когда найдутся такие действительные числа m  и M , что для всех натуральных чисел  выполняется неравенство

6) Последовательность   называется неограниченной, если она постоянно или растет или убывает.
7) Последовательность, имеющая предел называется сходящейся. Противоположная к ней последовательность - соответственно расходящимися.

последовательность натуральных чисел.
2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных

чисел.
1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.
1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.
2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

Способы задания последовательностей
Аналитический.
С помощью формулы n-ого члена – позволяет

вычислить член последовательности с любым заданным номером

хn=3.n+2
x5=3.5+2=17;
Х45=3.45+2=137

Рекуррентный
(от слова recursio - возвращаться)
х1=1; хn+1=(n+1)xn
n=1; 2; 3; …
можно записать с многоточием
1; 2; 6; 24; 120; 720; …

13, ... в которой каждое последующее число, начиная с третьего,

является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1;…

можно задать рекуррентно:

располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха.
Семечки упорядочены
в два

ряда спиралей,
один из которых идет
по часовой стрелке,
другой против неё.

со второго, равен сумме предыдущего члена
и одного и того

же числа d,
называют арифметической прогрессией,
а число d – разностью арифметической прогрессии.
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
возрастающая арифметическая прогрессия,
у которой d = 2.

нуля
и каждый член которой, начиная со второго, получается из

предыдущего члена умножением на одно и то же число q,
называют геометрической прогрессией,
а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Пример: 54 , 18, 6, 2, … -убывающая
геометрическая прогрессия,
у которой q = 1/3.

от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в

первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

10; 13; …


В порядке возрастания
положительные нечетные
числа


10; 19; 37;

73; 145; …

В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1

6; 8; 16; 18; 36; …

В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

Увеличение
на 3

Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза

1; 3; 5; 7; 9; …

5; 10; 15; 20; 25; …

Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

П
Р
О
В
Е
Р
Ь

С
Е
Б
Я

6; 20; 56; 144; 352;…

Решение. Запишем каждый член последовательности
в следующем виде:

Формула общего члена:

последовательностей
Положительные и Положительные

Отрицательные отрицательные

Выполните следующие задания:
Впишите пропущенные члены последовательности:

1; ___; 81; ___; 625; … 5; ___; ___; ___; 9; … ___; ___; 3; 11; ___;

-1; 4; ___; ___; -25; … ___; -4 ; ___; ___; -7; …

2; 8; ___; ___; ___; …

16 256 6 7 8 -3 -1 27

-9 16 -3 -5 -6

26 80 242

ПРОВЕРЬ

СЕБЯ

последовательности вы знаете?
Дайте определение ограниченной сверху и снизу числовой последовательности.
Какую

последовательность называют возрастающей и убывающей?
Что такое окрестность точки, радиус окрестности?

а = 0
r = 0,1
b) a =

-3
r = 0,5

в) а = 2
r = 1

г) а = 0,2
r = 0,3

(-0,1, 0,1)

(-3,5, -2,5)

(1, 3)

(-0,1, 0,5)

(-0,2, 0,2)
г) (-7, -5)
в) (2,1, 2,3)
а

= 2
r = 1

а = 0
r = 0,2

а = 2,2
r = 0,1

а = -6
r = 1

пределом последовательности (уn), если в любой
заранее выбранной окрестности точки

b
содержатся все члены последовательности,
начиная с некоторого номера.

Пишут и читают:

или

2) Предел произведения равен произведению пределов

4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела

3) Предел частного равен частному от пределов