Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система

система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка

имеющую одну общую точку, называются косоугольной системой координат в пространстве.

Если координатные оси взаимно перпендикулярны, то косоугольную систему координат называют прямоугольной системой координат Декарта в пространстве и обозначают хуz.

Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в избранной системе координат называется трехмерным пространством.

z
z1

P(х1; у1; z1)

у1 у
х1
х

Элементы системы координат:
координатные плоскости Оху, Оуz, Охz;
оси координат: Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат; Оz – ось аппликат.
Точка О – начало координат;
упорядоченная тройка чисел (х; у; z) – координаты произвольной точки Р.

у
у1 Р(х1; у1)



0 х1 х

Частным случаем является система координат на плоскости, например координатная плоскость Оху.

у

Р (х1; у1)
r

φ
0 А х

Точка на плоскости может быть задана полярной системой координат, при этом положение точки Р описывается углом поворота положительной полуоси Ох против часовой стрелки до положения луча ОР и расстоянием точки Р от начала координат.

Из Δ АРО, где

, имеем:

r=

Таким образом А
2) Задать точку плоскости В (0,5; π/4) в декартовых координатах.
Решение.
х1=0,5cosπ/6 =0,5

у1=0,5sin π/6= 0,5·1/2 .
Таким образом В (0,25 ; 0,25)

результате пересечения произвольной плоскости

Ах + Ву + Сz + D = 0 и координатной плоскости.
Составим уравнение прямой, принадлежащей, например, плоскости хОу. Эта прямая определяется системой двух уравнений:

– общее уравнение прямой на координатной плоскости, причем

(А; В) является нормальным вектором этой прямой.

n L
Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее уравнению (*), называется прямой.
у
b - уравнение прямой в отрезках на осях

а
0 L у
L - уравнение прямой,
М1(х1;у1) М2(х2;у2) проходящей через две точки

у
L
b
φ
0 х

L: у= kх+b, где k= tgφ – уравнение прямой с угловым коэффициентом;
L: у – у1= k (х – х1) – уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через т. М (х1; у1).

=0 и А2х + В2у + С2 =0
Угол между этими

прямыми найдем из формулы:




Если прямые заданы уравнением с угловыми коэффициентами, то угол между ними находим по формуле:

L1||L2, если

или k1=k2

L1 L2, если А1А2= -В1В2 или k1k2= -1

φ

+ 1 и у = -2х – 5.

Решение. Полагая k1= 3 и k2= -2 и применяя формулу (1), получим
tg  = -2–3/1+(-2)3= -5/-5= 1, т.е.  = /4= 0,785 рад.

2. Показать, что прямые 7х + 3у – 5 = 0 и 14х + 6у + 1 = 0 параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем:
у= -7/3х+5/3 и у= -7/3х+1/14.
Угловые коэффициенты этих прямых равны: k1= k2= -7/3, т. е. прямые параллеьны.

3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти уравнения высот треугольника AD, BN и CM.
Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС:
kВС= 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2.
В силу перпендикулярности прямых AD и BC kAD= -1/kВС, т. е. kAD= ½.
Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид:
у–0= ½(х+5) или х–2у+5= 0.

плоскости:
а11х2 + а22у2 + 2а12ху + а10х + а20у +

а00 = 0, где а211 + а212 + а222 ≠ 0, т. е. хотя бы одно из чисел а11,а12,а22 не равно нулю.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

центром в точке М(х0;у0) и радиусом R.


Уравнение

окружности с центром в начале координат


Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

- фокальное расстояние, тогда фокусы будут
иметь следующие координаты: и
r1 + r2 = 2а (const); a>c.

, r2 = , тогда

аналитическое уравнение эллипса примет вид:



Обозначив , получим каноническое уравнение эллипса:

горизонтальную оси симметрии, а так же центр симметрии.

А1 А2 - большая ось (ОА1 - полуось), В1 В2 – малая ось (ОВ1 - полуось).
А1, А2, В1, В2 - вершины эллипса, причем
- называется эксцентриситетом эллипса,


,т.е. 0< <1;

- характеризует: “вытянутость эллипса, т.е. отклонение от окружности”.

=1, значит x2+y2 = a2, где а – радиус окружности

называются директрисами
(направляющими)
т.о. имеем:

, где d1=

Пример:
Дан эллипс найти полуоси, эксцентриситет,
уравнения директрис.

из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина

постоянная.

тогда фокусы будут иметь координаты F1(-c;0) и
F2(c;0).

, r2 =

, тогда
аналитическое уравнение гиперболы примет вид:





Обозначив , получим каноническое уравнение гиперболы:

А2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а – действительная, 2b

– мнимая.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты:

Эксцентриситет гиперболы:

причем

Прямые - называется директрисами гиперболы

причем

а и b; фокусы; эксцентриситет; уравнения асимптот; уравнения директрис.
16х2 –

9у2 = 144
1.

2.
3.

4.

5.

плоскости(фокус F) и фиксированной прямой (директриса d).

d – директриса параболы.

тогда


аналитическое уравнение параболы примет вид:




таким образом получим каноническое уравнение параболы:

или верхней полуплоскости .
Парабола имеет одну ось симметрии – ось

абсцисс или ось ординат.

4х – 8 определяет параболу, и найти координаты ее вершины

А, величину параметра р и уравнение директрисы.

у2 = 4х – 8
Представим уравнение в каноническом виде: у2 = 4(х - 2)
вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две единицы.
А(2;0) – координаты вершины параболы.

2р = 4 р = 2 – параметр параболы.

3. - уравнение директрисы параболы.