ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

и физический смысл производной и дифференциала.
Правила дифференцирования.

х0, если ее приращение при переходе из точки хо в

точку х = х0+Δх можно представить в виде
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = А(x0)Δx + о(Δx) при Δх→0,
где А(x0) – не зависит от Δx .

Главная линейная относительно Δx часть приращения функции А(x0)Δx – называется дифференциалом функции в точке х0 при приращении Δx и обозначается df(х0; Δx) или df(х0) или df или dу.
Таким образом
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = df(х0; Δx) + о(Δx) при Δх→0.

Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.

в U(x0) и х – произвольная точка этой окрестности. Если

существует предел отношения


при х → х 0, то этот предел называется производной функции f(x) в точке х0 и обозначается f '(x0), то есть



Пусть Δx = x – x0 – приращение аргумента при переходе из точки х0 в точку х, а Δy = f(x0+Δx) – f(x0) – соответствующее приращение функции.
Тогда

предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой

точке.
При этом дифференциал и производная связаны равенством:
df(х0; Δx) = f '(x0) Δх.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть f(x) дифференцируема в точке xo, то есть
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = А(x0)Δx + о(Δx) при Δх → 0,
откуда
Δy /Δx = А(x0) + о(1) при Δх→0,
следовательно существует

то есть функция имеет в точке x0 производную f '(x0) = А(x0).

Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой точке.

существует


Следовательно
Δy /Δx = f '(x0) + о(1) при Δх

→ 0,
откуда
Δy = f '(x0) Δх + о(Δх) при Δх → 0,
то есть функция дифференцируема в точке x0 и
df(х0; Δx) = f '(x0) Δх.

ЗАМЕЧАНИЕ.
Операция вычисления производной называется дифференцированием.

независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции в точке x0 можно

записать в виде
df(х0) = f '(x0) dх.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал dy – функция от х и dx:
dy = f '(x) dx.
Отсюда, в частности, получается выражение для производной


То есть производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

непрерывна в этой точке.

Доказательство.
Пусть существует

Тогда

Отсюда получим, что
f (x)

– f (x0) = (f '(x0) + о(1)) (х – х0) → 0 при х → х0 .


то есть f(x) непрерывна в точке x0.

Непрерывность дифференцируемой функции.

в этой точке производной.
Пример 1. f (x) = ⎜х

⎜.
Функция непрерывна в точке х = 0.
Рассмотрим

x

y

0

Предел не существует, так как

Итак, функция f (x) = ⎜х ⎜не имеет производной в точке
х = 0, хотя непрерывна в этой точке.

→ ∞ при х → 0.
Т.е. f(x) непрерывна

в точке х = 0.

Т.е. f(x) не имеет производной в точке х = 0 и, следовательно,
не дифференцируема в этой точке.

и дифференцируема в точке х0.



М0
М
x0
x0+ Δx
Δy
Δx
y = f(x)
y0
y0+Δу
0

L

– секущая

L0 – касательная

x

Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) → 0 при Δх → 0
в силу непрерывности функции.

Касательной к графику функции у = f(x) в точке М0 называется
предельное положение секущей L при Δх → 0.

y

Δу/Δх → f ′(x0) при Δх → 0
и уравнение

касательной имеет вид
у = у0 + f ′(x0) (х – х0).
Если же
Δу/Δх → ∞ при Δх → 0,
то прямая
х = х0 ,
получающаяся из уравнения секущей, называется вертикальной
касательной к графику функции в точке М0.
Нормалью к графику функции в точке М0 называется прямая,
перпендикулярная касательной, проходящая через точку М0.
Ее уравнение имеет вид
у = у0 – 1/f ′(x0) (х – х0).

f ′(x0) (х – х0) = df(х0) –
приращение ординаты касательной

при переходе из точки х0 в точку х.

М0

М

x0

x0+ Δx

dy = df(х0; Δx) = f ′(x0) Δx

Δx

y = f(x)

f(x0)

f(x0 +Δx )

0

x

y

F

E

⎜EM⎜= o(Δx ) при Δx →0

α

L0

tgα= f ′(x0)

точкой за время t, то S '(t) – мгновенная скорость

материальной точки, а dS = S '(t)dt – расстояние, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени от t до t + dt, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости в момент t.

Если Q(t) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то Q '(t) = I – сила тока.

Если N(t) – количество вещества, образующегося в момент t в ходе химической реакции, то N '(t) – скорость химической реакции.

g дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы

f + g, f⋅g, f /g (если g(x) ≠ 0) и при этом
(f(х) + g(х))' = f '(х) + g '(х)
(f(х)⋅g(х))' = f '(х)⋅g(х) + f (х)⋅g '(х)
(f (х) /g(х))' = (f '(х)⋅g(х) – f (х)⋅g'(х))/g2(х)
Следствие.

Доказательство теоремы.

1. Пусть у = f + g. Тогда

Если f (х) дифференцируема в точке х и С = const, то

(С⋅f(x))' = С⋅f '(x);

(f(x)/С)' = f '(x)/С.

Тогда

монотонна на отрезке [x0- δ, x0 + δ] и имеет

производную f '(x0) ≠ 0, тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке у0 = f(x0), причем
g '(y0) = 1/ f '(x0).
Доказательство.
Пусть f(x) строго возрастает на отрезке [x0- δ, x0+ δ].
Пусть α = f(x0- δ), β = f(x0+ δ).
Тогда на отрезке [α, β] определена обратная функция x = g(y),
непрерывная и строго возрастающая, причем f(x0)∈ (α, β).

x0

x0 - δ

x0 + δ

α

β

у0=f(x0)

x

y

Δx

Δу

у = f(x)

x = g(y)

Пусть Δу таково, что у0+Δу ∈ (α, β).

Обозначим Δх = g(y0+Δу) - g(y0).

Нужно доказать, что существует

0

силу строгой монотонности функции. Поэтому при Δу ≠ 0 имеем:




Пусть

Δу → 0, тогда и Δх → 0 , так как функция x = g(y) непрерывна в точке у0. Но если Δх → 0, то существует


Итак, правая часть тождества имеет предел, равный 1/f ' (x0).
Следовательно, существует и

x0, у0 = f(x0),
а функция x = ϕ (t)

дифференцируема в точке t0 , x0 = ϕ ( to).
Тогда сложная функция у = f (ϕ (t)) дифференцируема в точке t0 и
f 't (ϕ ( t0)) = f 'x (x0)·ϕ 't ( t0)
или


Доказательство.
Δy = f(x) – f(x0) = f '(x0)Δx + о(Δx) при Δх → 0,
Δx = ϕ (t) – ϕ (t0) = ϕ '(t0)Δt + о(Δt) при Δt → 0,
Δy = f (ϕ (t)) – f (ϕ (t0)) = f '(x0)( ϕ '(t0 )Δt + о(Δt)) + о(Δx) =
= f '(x0)ϕ '( t0 )Δt + f '(x0)о(Δt)+ о(Δx)

(t) в точке t0.

при Δt→0.
Следовательно

ЗАМЕЧАНИЕ.

Правило вычисления производной сложной функции распространяется
на композицию любого конечного числа функций. Например:

(f (ϕ (g(x))))' = f '(ϕ (g(x)))⋅ϕ'(g(x))⋅g'(x).

f '(xo) Δx + о(Δx) ≈ f '(xo) Δx

⇒
f(xo + Δx) ≈ f(xo) + f '(xo) Δx.
Последнюю формулу можно использовать для вычисления приближенного значения f(xo + Δx) при малых Δx, если известны значения f(xo) и f '(xo).
Пример.