Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли

ого порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный

Однородные дифференциальные уравнения

Например, функция

является однородной функцией второго порядка, так как:

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если f(x, у) есть однородная функция нулевого порядка.

2/13

виду:
Если f(x, у) есть однородная функция нулевого порядка, то:
Положив
получим:
Однородное

(1)

3/13

будет однородным, если P(x; y) и Q(x; y) – однородные

При интегрировании уравнения вида (2) можно сначала привести его к виду (1) или сразу сделать подстановку:

(2)

4/13

порядка

Пусть:
6/13

записать в виде:
p(x) и q(x) – заданные функции в частности

Рассмотрим 2 метода интегрирования линейного уравнения.

Метод Бернулли.

Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций, то есть с помощью подстановки:

Где u(x) и v(x) – неизвестные функции, причем одна из них произвольная функция, не равная нулю.

Действительно, любую функцию y можно записать как:

(3)

7/13

выражение, стоящее в скобках было равно нулю, то есть решим

Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*)

Получим еще одно уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию u(x)

(*)

8/13

произвольная постоянная С
не прибавляется

При нахождении функции u(x) произвольная постоянная

Положим:

9/13

уравнение вида:
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
Оно называется линейным однородным

Это уравнение является также уравнением с разделяющимися переменными.

Решением уравнения будет функция, зависящая от одной произвольной постоянной:

Метод Лагранжа заключается в том, что постоянную С в полученном решении заменяем на функцию С(х) и решение уравнения ищем в виде:

(3)

Функция С(х) находится подстановкой y(x) в уравнение (3)

10/13

полученную функцию в исходное уравнение:
11/13

линейное уравнение методом Бернулли.

(4)

Положим:


12/13