Дифференциальные уравнения Понятие о частных производных Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множ

каждой паре допустимых значений x и y соответствует единственное значение

Понятие о частных производных

Частной производной функции z по переменной x называется производная, вычисленная в предположении, что y – const.

Обозначается:

Аналогично:

2/15

частная производная по y, вычисленная в предположении, что
х – const.

Выражение

называется полным дифференциалом функции z

если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x;

(1)

4/15

В этом случае уравнение (1) можно записать в виде:

а его общим интегралом будет:

(2)

что выражение
есть полный дифференциал некоторой функции.

Теорема
Для того, чтобы выражение
5/15
где функции

(3)

необходимо найти функцию u(x,y) по ее полному дифференциалу.
Найдем эту функцию.

Если в первом уравнении зафиксировать y и проинтегрировать его по x, получим:

6/15

(4)

Здесь произвольная постоянная С = φ(y) зависит от y или является постоянной. Для ее нахождения продифференцируем функцию u(x, y) по y.

(5)

только от y, если выполняются условия (3). Находим φ(y):
7/15
Подставляя

условий (3):
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Условия (4) здесь будут

функцию φ(y) в выражение для u(x; y)
Общим интегралом является:

является уравнением в полных дифференциалах.
10/15
Интегрирующий множитель легко находится в

Однако, это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах, умножив его на некоторую функцию t(x; y), которая называется интегрирующим множителем:

Если выражение:

зависит только от переменной x, то уравнение имеет интегрирующий множитель , t(x) который находится по формуле:

(6)

интегрирующий множитель , t(y) который находится по формуле:
(7)


(8)

является уравнением в полных дифференциалах.
Проверим, есть ли у этого уравнения

интегрирующий множитель t(x)
Умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель:

так:

интегралом является: