Динамические системы и их математические модели. Автоматические системы

технологическими процессами в теплоэнергетике, теплотехнике и теплотехнологиях. Лекция №3.
АСУТП в ТТТ.

Лекция 3

системы.
3. Дифференциальные уравнения динамических систем.
4. Типовые воздействия и реакции на

них.
5. Интеграл свертки.
6. Преобразование Лапласа (прямое и обратное) и передаточная функция.
7. Элементарные звенья: перечень, пример.
8. Математические модели объектов управления.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

находящаяся в постоянном движении, параметры этой системы изменяются во времени.
Динамическая

система может находиться в статическом состоянии.

Динамическая система

Линейная

Нелинейная

Описывается линейными дифференциальными уравнениями.
Для линейной системы справедлив принцип суперпозиции (наложения).

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

сумме откликов (реакций) системы на каждое воздействие.
Линейная динамическая система
X1(t)
X2(t)
X3(t)
Y1(t)
Y2(t)
Y3(t)
Вход
Выход
X(t)
Y(t)
АСУТП в

ТТТ. Лекция 3

ёмкостями. Уравнения энергетического и материального баланса составляется для каждой ёмкости

и представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, если в объекте n ёмкостей, соответственно, будет n уравнений.
Дифференциальное уравнение имеет вид:

где: zi – переменные состояния системы, характеризующие содержание вещества или энергии в ёмкостях в каждый момент времени t;
x1…xl – внешние (входные) воздействия на систему, приводящие к изменению ее состояния.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

необходимых преобразований дифференциальное уравнение линейной динамической системы примет вид:
АСУТП в

ТТТ. Лекция 3

некоторые типовые входные воздействия (их также называют тестовыми воздействиями).
Подбор тестовых

воздействий осуществляется таким образом, чтобы любое возможное в процессе эксплуатации воздействие на систему можно было представить взвешенной суммой типовых воздействий. Таким образом, используя принцип наложения можно определить реакцию системы на любое воздействие.
Типовые воздействия
- Единичное ступенчатое воздействие (функция Хевисайда);
- Дельта-функция, функция Дирака;
- Гармонические колебания единичной амплитуды.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

Переходная характеристика обозначается h(t).

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

воздействие произвольной величины.
Кривая разгона обычно обозначается y(t), из кривой разгона

может быть получена переходная характеристика:

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

Дирака. Импульсная переходная характеристика представляет собой производную от переходной характеристики,

обозначается w(t).

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

в ТТТ. Лекция 3

Хевисайда (то есть, на выходе получается переходная характеристика), то можно

записать:

Также необходимо отметить, что импульсная переходная характеристика представляет собой производную от переходной характеристики:

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

динамической системы в некоторый момент времени зависит не только от

входного воздействия в этот момент времени, но и в предыдущие моменты времени. То есть, динамическая система обладает «памятью» на входные воздействия, статическая – не обладает.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

ставится в соответствие некая функция в пространстве изображений. Переход от

оригинала к изображению выполняется по формуле:



Где: - оригинал, ;
- изображение функции-оригинала по Лапласу.

Изображение по Лапласу обозначается .
Существует прямое и обратное преобразование Лапласа.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

в параграфе 2.2.
АСУТП в ТТТ. Лекция 3

в параграфе 2.2.
АСУТП в ТТТ. Лекция 3

оригинала:
4. Конечное значение оригинала:
АСУТП в ТТТ. Лекция 3

лекции:
Входное воздействие:
Рассматриваемая система до t=0 находилась в состоянии покоя:
Умножим обе

части данного уравнения на

Проинтегрируем обе части уравнения от 0 до ∞, то есть, выполним преобразование Лапласа.

Введем обозначения:

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

Лапласу выходной величины системы к преобразованному по Лапласу входному воздействию

при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция представляет собой описание объекта, подобно дифференциальному уравнению, но при этом она не имеет физического смысла.
Передаточную функцию системы можно получить по ее дифференциальному уравнению, для этого:
Производные в левой и правой частях заменить на s в степени, равной порядку заменяемой производной;
Полином, полученной в правой части –является числителем передаточной функции, а полином в левой части – ее знаменателем.
Знаменатель передаточной функции является характеристическим уравнением системы (ХУ). Корни ХУ называются полюсами ПФ.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

входное воздействие:

2. По дифференциальному уравнению составить передаточную функцию системы;

3.

Записать выражение для изображения выходной величины:

4. Выполнить обратное преобразование Лапласа и получить оригинал выходной величины системы:

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

действительное число.




АСУТП в ТТТ. Лекция 3

Понятие элементарного звена
Структурные схемы
Функциональные схемы
Алгоритмические схемы
Структурная схема системы управления графически

отображает ее состав; входящие в эту систему элементы и связи между ними.
На функциональных схемах элементы системы группируются на основании общности выполняемых ими функций, например, по принадлежности к объекту или к контроллеру.
На алгоритмических схемах основное значение имеет характер преобразования сигналов в отдельных элементах. На физических схемах отражаются аппаратурные особенности и физическая природа носителей сигналов и т.д. Теория автоматического управления, как правило, абстрагируется от физической природы объекта.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

соблюдать принципы (правила) автономности и детектирования.
Принцип автономности состоит в том,

что при изменении внутренних свойств одного звена внутренние свойства всех остальных остаются неизменными.
Принцип детектирования (или принцип однонаправленной передачи воздействий) состоит в том, что выходная величина любого звена зависит только от его входной величины, обратное влияние через звено отсутствует.
Элементарным звеном называется звено описываемое дифференциальным уравнением первого порядка. Из элементарных звеньев часто строят модели систем управления и регулирования.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

Д);
- реальное дифференцирующее (РД);
- инерционное звено первого порядка (апериодическое, А);
-

звено запаздывания (З);
- интегродифференцирующее (ИД);
- инерционное звено второго порядка (колебательное, К).
 
Инерционное звено второго порядка (или колебательное звено) описывается дифференциальным уравнением второго порядка, тем не менее, его тоже относят к элементарным звеньям.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

П-звена является рычаг, клапаны с линеаризованными характеристиками, пружина обратной связи

в гидравлическом регуляторе и т.д.

Дифференциальное уравнение П-звена имеет вид:

Коэффициент k в дифференциальном уравнении П-звена называется также коэффициентом передачи П-звена. Необходимо заметить, что это размерная величина, размерность которой представляет собой отношение размерности выходного сигнала к размерности входного сигнала.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

АЧХ П-звена имеет вид:
ФЧХ П-звена имеет вид:
Переходная характеристика

П-звена имеет вид:
Импульсная переходная характеристика П-звена имеет вид:

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

исполнительный двигатель или гидравлическая система (бак) с насосом на стоке.

Дифференциальное

уравнение И-звена:

Коэффициент kи в дифференциальном уравнении И-звена называется также коэффициентом передачи И-звена. Необходимо заметить, что это размерная величина, размерность которой представляет собой отношение размерности выходного сигнала, к размерности входного сигнала, умноженной на время.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

АЧХ И-звена имеет вид:
ФЧХ И-звена имеет вид:

Переходная характеристика

И-звена имеет вид:
Импульсная переходная характеристика И-звена имеет вид:

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

Переходная характеристика

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

реализации А-звена является RC-цепочка, которая рассматривалась в предыдущей лекции при

изучении РД-звена, но в этой цепочке нужно поменять местами резистор и конденсатор.
Дифференциальное уравнение А-звена имеет вид

Коэффициент k в дифференциальном уравнении А-звена называется также коэффициентом передачи А-звена. Необходимо заметить, что это размерная величина, размерность которой представляет собой отношение размерности выходного сигнала к размерности входного сигнала. Т – постоянная времени апериодического звена, имеет размерность времени.

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

А-звена имеет вид:

ФЧХ А-звена имеет вид:
АСУТП в ТТТ.

Лекция 3

АСУТП в ТТТ. Лекция 3

в ТТТ. Лекция 3

существуют типовые (или тестовые) входные воздействия?
Что называется функцией Хевисайда?
Что называется

переходной характеристикой?
Что называется функцией Дирака?
Что называется импульсной переходной характеристикой?
Как можно экспериментально найти переходную/импульсную переходную характеристику?
Как можно представить произвольное входное воздействие в виде последовательности импульсов? В виде последовательности ступенек?
Что называется интегралом свертки?
В чем состоит различие статической и динамической систем?
Запишите формулу прямого и обратного преобразования Лапласа.
Для чего применяется преобразование Лапласа?
Запишите изображение по Лапласу функции Хевисайда, линейной функции, экспоненты.
Каковы свойства преобразования Лапласа?
Как вычислить начальное и конечное значение оригинала, зная изображения?
Что называется передаточной функцией?
Каким образом можно получить передаточную функцию по дифференциальному уравнению системы?
Каким образом можно решить дифференциальное уравнение с помощью преобразования Лапласа?
Запишите дифференциальное уравнение апериодического звена, постройте его характеристики.
Приведите пример технической реализации А-звена.
Какие существуют типовые соединения звеньев?
Как найти передаточную функцию системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев, зная передаточные функции составляющих?
Можно ли найти переходную характеристику системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев, перемножив переходные характеристики входящих в нее звеньев? Почему?
Как найти АЧХ и ФЧХ системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев, зная АЧХ и ФЧХ составляющих?
Как найти передаточную функцию системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев, зная передаточную функцию каждого звена?
Как найти переходную характеристику параллельного соединения звеньев, зная переходные характеристики каждого звена?
Какие существуют виды обратной связи?
Как найти передаточную функцию системы с обратной связью, зная передаточные функции составляющих?

АСУТП в ТТТ. Лекция 3