Дисциплина ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Пояркова Е.В. – заведующий кафедрой механики материалов, конструкций и машин, д-р техн. наук, профессор

Дисциплина ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

для критической силы.
Учет влияния способов закрепления концов стержня на величину

критической силы.
Пределы применимости формулы Эйлера.
Эмпирическая формула для определения критических напряжений (формула Яссинского).
Практический метод расчета сжатых стержней на устойчивость по нормам.

элементы конструкции могут потерять устойчивую форму равновесия, после чего резко

изменяется геометрия системы.
В результате этого, как правило, изменяется характер нагружения и величина внутренних усилий, что приводит к невозможности дальнейшей эксплуатации конструкции или просто к катастрофическому обрушению.

В зависимости от того, как ведет себя система при малом смещении ее из положения равновесия
различают
a) устойчивое равновесие, b) неустойчивое равновесие и c) безразличное равновесие:

Есть восстанавливающая сила
(сила тяжести возвращает шарик
к положению равновесия).
Положение равновесия
устойчивое.

Нет восстанавливающей силы (сила тяжести уводит шарик
от положения равновесия).
Положение равновесия
неустойчивое.

Восстанавливающей силы нет
и нет силы, выводящей
шарик из положения
равновесия.
Положение равновесия
безразличное.

(исходного) состояния равновесия незначительно, то такое состояние равновесия называется устойчивым.

Если же состояние равновесия не обладает таким свойством, то оно называется неустойчивым.

В упруго деформирующихся системах силы упругости препятствуют уходу системы из начального положения равновесия.
При малых возмущениях могут возникать силы, выводящие систему из этого положения. Анализ устойчивости заключается в оценке соотношений между этими силами.
Например: Жесткий стержень AB длиной l , нагруженный продольной силой F, удерживается в равновесии упругой связью (пружиной) жесткости c.

В результате случайного воздействия (возмущения) стержень отклонился от вертикального положения на малый угол б (sinб =б, бsB =lб):

При малых возмущениях (отклонениях от положения равновесия) устойчивая система стремится вернуться в исходное положение и совершает колебательное движение относительно своего положения равновесия.
Малость возмущений является важным условием данного определения устойчивости.
При большом возмущении возможен переход в другое положение равновесия, далекое от первоначального положения равновесия.
В этом случае систему считают устойчивой “в малом” и неустойчивой “в большом”.

Освободим объект от связей и составим моментное уравнение равновесия :

Соотношение упругости:

При б  0 возможно равновесие, если F = cl = F*
(F* - критическая сила).

при котором возможно другое (отклоненное) положение равновесия, сколь угодно близкое

к первому.
При значении этой силы меньшем критического (F < F*), система имеет только одно – тривиальное – положение равновесия (б = 0).
При значении этой силы равной критическому (F = F*), система имеет смежные положения равновесия, отклоненные от начального и мало отличающиеся от него (б  0).
При значении этой силы большем критического (F > F*) система не может оставаться в начальном положении равновесия, а будет занимать какие-то другие положения в зависимости от значения силы. Эти положения можно найти решением соответствующего нелинейного уравнения (без предположения о малости перемещений).

Определение: Продольным изгибом называется потеря устойчивого равновесия прямолинейно сжатого стержня

Определение: Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы, при котором стержень потеряет свое устойчивое равновесие называется критическим

малое искривление и в поперечных сечениях его возникнет упругий изгибающий

момент, противодействующий дальнейшему искривлению стержня, численно равный моменту сжимающей силы относительно центральной оси поперечного сечения, смещенного на малое расстояние от прямолинейной оси стержня:

Запишем приближенное дифференциальное уравнение упругой линии, полученное при выводе формулы для нормальных напряжений с использованием уравнений равновесия, и подставим значение изгибающего момента:

Приведем его
к стандартному виду:
Здесь

Решение полученного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий:
1) z = 0, y(0) = 0;

2) z = l, y(l) = 0.

Это уравнение имеет два решения:
С2 = 0 – прогиб тождественно равен нулю по всей длине стержня (прямолинейная форма равновесия);
С2  0 – тогда sin kl = 0. Последнее определяет формы упругой линии n = 1, 2, 3,….. (криволинейных форм равновесия):

При n = 1 получаем
наименьшее значение силы:

Формула Эйлера

Вывод формулы Эйлера для критической силы

при которой наряду с прямолинейной формой равновесия становится возможной другая

(изгибная) форма равновесия.

При n =1 стержень изгибается по полуволне синусоиды.
Константа C2 остается неопределенной (в рамках сделанных предположений о малости прогибов).

При n = 2 изгибная форма представляет собой полную волну синусоиды, при которой величина критической силы увеличивается в 4 (!) раза.
Но для реализации такой формы изгиба необходимо поставить дополнительные горизонтальные связи в середине длины сжимаемого стержня.

Эйлера получена для шарнирного опирания стержня по концам.
На практике

встречаются и другие способы закрепления:

Для каждого из таких случаев необходимо задать соответствующие граничные условия, после чего можно получить необходимые значения критической силы.
На практике поступают иначе: определяют некоторую условную длину шарнирно опертого по концам стержня, для которого критическая сила будет равна критической силе для рассматриваемого стержня.
Эта условная длина является длиной полуволны синусоиды, которая может построена так, чтобы граничные условия для данного стержня были выполнены.

по обобщенной формуле:






где μ – коэффициент приведения длины

(l0 = μl).

При вычислении критической силы для стержней, имеющих различные моменты инерции Ix  Iy,
а также различное закрепление концов в плоскостях yOz и xOz, следует предварительно определить гибкость стержня относительно каждой из главных осей:
где μx, μy– коэффициенты приведения длины,
ix, iy– радиусы инерции сечения относительно осей x и y.

С использованием гибкости критическая сила определяется выражением:




!!! Наименьшая критическая сила вычисляется относительно оси, для которой гибкость стержня оказывается наибольшей.

Формула Эйлера в функции от гибкости

выполняется линейная зависимость деформации от напряжений (закон Гука).



Между тем

полученная зависимость критической силы от гибкости является гиперболической, при которой уменьшение гибкости приводит к таким большим значениям критической силы, что напряжения могут превысить предел пропорциональности σпц.
Таким образом критические напряжение не должны превосходить предел пропорциональности:

Например, для стали 45 σпц = 195 МПа, E = 2.06∙105 МПа.
Подставляя в это неравенство эти данные получим
предельную гибкость, меньше которой нельзя пользоваться формулой Эйлера:

Таким образом, гиперболой Эйлера можно пользоваться только при гибкости большей предельной, равной для данной стали 102
(показано на графике жирной синей кривой - см. след. слайд).

стержня происходит вследствие разрушения самого материала
(для сталей – пластическое

течение при напряжении σ = σт = 300 МПа).
Таким образом, критические напряжения для таких стержней ограничиваются уровнем
этого предельного напряжения

гиперболой Эйлера можно
пользоваться только при гибкости большей предельной,
равной для данной стали 102

гибкости (для сталей 40-60 <  < 102 ) теоретическое

исследование устойчивости вследствие необходимости учета нелинейности существенно усложняется. Для практических расчетов Ф.С. Ясинским была предложена эмпирическая линейная зависимость, полученная на основе обработки экспериментальных данных, в виде: где a и b – константы, зависящие от материала
(сталь: a = 310 Мпа, b = 1.14 МПа,
дерево: a = 29.3 МПа, b = 0.194 МПа).

Формула Яссинского

Таким образом, критические напряжения для стержней средней гибкости ограничиваются наклонной прямой (показано на графике жирной синей линией, соединяющей предыдущие участки).
В целом безопасные напряжения с учетом потери устойчивости находятся внутри области, очерченной синим на графике.

Поскольку величина критической силы зависит от максимальной гибкости в одной из плоскостей, а применяемые формулы (Эйлера или Яссинского) - в зависимости от диапазона, в который попадает гибкость (средняя или большая гибкость), то
порядок определения критической силы следующий:
1. Определяются коэффициенты приведения длины и максимальная гибкость из двух гибкостей относительно осей x, y.
2. Определяется для данного материала предельная гибкость и сравнивается с максимальной.
3. Если максимальная гибкость больше предельной, то используется формула Эйлера, если меньше – формула Яссинского.
(Для стержней малой гибкости критическая сила не вычисляется).

сжатых и растянутых стержней условие прочности имеет вид:

Здесь N – нормальное усилие в стержне, R – расчетное сопротивление материала,
Aнт – площадь поперечного сечения (нетто).

С учетом ограничения напряжения, связанного с потерей устойчивости, должно выполняться неравенство:



Здесь Aбр – площадь поперечного сечения брутто (без учета местных ослаблений – отверстия, канавки и пр.

Условие обеспечения
Определенного запаса
по устойчивости стержня:

где ny – нормативный или требуемый коэффициент запаса,
[y] – допускаемое напряжение при расчете на устойчивость.

Представим правую часть неравенства как
некоторую долю расчетного сопротивления:

Здесь коэффициент φ <1 определяет степень снижения расчетного сопротивления и называется коэффициентом продольного изгиба или коэффициентом уменьшения расчетного сопротивления для сжатых стержней. Поскольку он связан с величиной критических напряжений, то он зависит от гибкости стержня.
Значения коэффициента установлены Строительными нормами и правилами (СНИП) и приводятся в виде таблицы в функции от гибкости для различных марок стали и других материалов (чугун, дерево). Ниже приведен фрагмент таблицы коэффициентов φ:

виде, аналогичном условию прочности:

или

Замечания:
Во втором виде записи условия коэффициент  уменьшает площадь поперечного сечения и иногда его называют коэффициентом снижения грузоподъемности.
2. Во всех случаях коэффициент  учитывает уровень критических напряжений (или гибкости) в соответствии с изложенными выше правилами использования формулы Эйлера (или Ясинского). Следовательно, здесь не нужно находить предельную гибкость.

Подбор сечения сжатых стержней.
При подборе сечения оказывается, что одно условие содержит два неизвестных: площадь поперечного сечения и значение коэффициента продольного изгиба, поскольку  = (), а гибкость зависит от размеров сечения (конкретно радиуса инерции).
В литературе описана последовательность подбора сечения сжатых стержней методом последовательных приближений:

2. Вычисляется т р е б у е м а я п л о щ а д ь: и назначаются размеры.

3. Определяется радиус инерции:

1. Задается значение  , например,  = 0.5.

4. Вычисляется гибкость:

5. По получившейся гибкости из
таблицы определяется действительное значение д.

6. Сравнивается полученное д с заданным ранее  и выполняется шаг 1 с заданием нового значения , например, равным среднему (полусумме) из них.

требуемых характеристик сечения (площади и радиуса инерции). Параметры сечения (радиус,

ширина и высота, номер прокатного профиля) могут приниматься исходя из некоторого диапазона, границы которого определяются этими характеристиками. Таким образом, уже в середине расчета выполняется приближение принимаемых параметров сечения к действительным.
Алгоритм может быть представлен в виде следующей блок схемы:

Замечания:
1. Поскольку при изгибе сжатой стойки
момент инерции сечений прокатного
профиля играет большую роль, чем
площадь, то при выборе номера
прокатного сечения следует принимать его
ближе к границе, определяемой
требуемым радиусом инерции.
2. При малом отличии действительного
коэффициента д от заданного, особенно
при подборе сечения прокатного профиля,
можно повторить расчет, начиная
с задания параметра (номера профиля) –
пунктирная стрелка.
3. При определении гибкости по таблице
или коэффициента  следует
использовать линейную интерполяцию
табличных значений:

Поскольку ускоренный алгоритм содержит большее число операций, то после первого приближения можно ограничиться лишь заданием параметров сечения по требуемой площади, но число итераций будет больше.

Быстрый алгоритм подбора сечения.