Двойной интеграл Основные понятия Геометрический смысл двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла

интеграла в декартовых координатах

1/17

Di,
Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная

D

В каждой области Di выберем произвольную точку Mi(xi; yi).

Di

Mi(xi; yi).

Составим сумму вида:

площади которых обозначим через ΔSi, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) через di.

2/17

области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к

Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x; y) по области D и обозначается:

3/17

называется интегрируемой в области D,
Для всякой ли функции существует

Теорема

Если функция z = f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области (достаточное условие интегрируемости функций).

D – область интегрирования,

dxdy (или dS) – элемент площади.

x; y – переменные интегрирования,

4/17

f(x; y),
z = f(x; y)
снизу замкнутой областью D на

D

с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси OZ, а направляющей служит граница области D.

Такое тело называют цилиндрическим. Найдем его объем.

5/17

площади которых равны ΔSi
Di
Рассмотрим цилиндрические столбики с основанием Di, ограниченные

В своей совокупности они составляют тело V

Обозначив объем столбика с основанием Di, через ΔVi, получим:

Возьмем на каждой площадке Di точку Mi(xi; yi)

Mi(xi; yi).

и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой zi = f(xi; yi).

f(xi ; yi)

6/17

получаем:
Это равенство тем точнее, чем больше число n и

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Геометрический смысл двойного интеграла

7/17

и D2 не имеющих общих точек, то
4
8/17

в области D функции f(x; y) и g(x; y) удовлетворяют

7

Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S то:

где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области D.

9/17

области D, площадь которой S, то в этой области существует

Величину

называют средним значением функции f(x ; y) в области D.

10/17

направлении оси , если любая прямая, параллельная оси

Правильная область

Неправильная область

Аналогично определяется область, правильная в направлении оси OX.

Область, правильная, как в направлении оси OX, так в направлении оси OY, называется просто правильной областью.

ОY

ОX

ОY

ОX

11/17

b (a < b) и кривыми y = φ1(x), y

Таким образом задается область, правильная в направлении оси OY.

D

y =

b

a

y =

(1)

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

a

b

φ2(x)

φ1(x)

φ1(x)

φ2(x)

12/17

вычисления двойного интеграла в декартовых координатах.
Правую часть формулы (1)

(1)

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая x постоянным,

затем берем внешний интеграл, то есть результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

13/17

d (c < d) и кривыми x = ψ1(y), x

Таким образом задается область, правильная в направлении оси OX.

D

x =

d

c

x =

(2)

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

c

d

ψ2(x)

ψ1(x)

ψ1(x)

ψ2(x)

14/17

2 - x
Воспользуемся формулой (2)
15/17
0
1
x = 2 - y

2

формуле (1)
17/17

Выпишем уравнения линий, ограничивающих область D:

Теперь запишем

0

1

1