Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах

функции x и y имеют в некоторой области D* плоскости

а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:

определитель Якоби (якобиан)

Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y).

2/13

ограничена линиями:
xy = 1; xy = 2; y =

D

Сделаем замену переменных:

3/13

частные производные от получившихся функций:
Замена переменных в двойном интеграле


5/13

переменных в двойном интеграле

7/13

декартовых координат x и y полярными координатами r и φ.
В

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции.

Якобиан преобразования равен:

8/13

в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе

Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат:

Лучами

D*

Кривыми

Такая область называется правильной областью в полярной системе координат:

луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках.

9/13

Двойной интеграл в полярных координатах

D*

10/13

f(x2+y2) ; область D есть круг, кольцо или части таковых.
На

Двойной интеграл в полярных координатах

Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам.

Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ.

3

11/13

D в декартовой системе координат.

3
D
12/13

= 3
Двойной интеграл в полярных координатах
3
0
0
2π

13/13