ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

способы его описания
В электротехнике простейшим переменным сигналом является гармонический (ЭДС

- е(t), напряжение - (u(t), ток - i(t)). Аналитически гармонический сигнал (например, напряжение) записывается выражением:
u(t) = Umsin(ω0t+φ0) , (1.1)
где u(t) – мгновенное значение напряжения – напряжение в момент времени t.
Временная диаграмма гармонического сигнала приведена на рис.1. Он характеризуется следующими тремя основными параметрами:

u(t) = Umcos(ω0t+φ0)

1. Um – амплитуда, величина наибольшего отклонения от нуля, (В- вольт);
2. Т – период, наименьший интервал времени, по истечении которого мгновенные величины повторяются, измеряется в (сек), с ним связаны f=1/Т – циклическая частота, измеряется в (Гц) и ω0 =2πf – угловая частота - (рад/с);
3. φ0= ω0 t0 – начальная фаза, (рад). Выражение в скобках - (ω0t+φ0)= ψ(t) называют полная фаза. Отсюда φ0 = ψ(t=0).
t0 –временной сдвиг сигнала относительно t=0

от долей герца до миллиардов герц. В наших промышленных энергосистемах

применяется частота f=50 Гц. В зависимости от частоты источниками синусоидальной э.д.с. являются генераторы того или иного типа:
Вращающиеся электрические машины генерируют э.д.с. промышленной частоты (50Гц); Ионные или полупроводниковые инверторы - промышленные и повышенные частоты.
Рассмотрим принцип действия генератора – электромагнитной машины.
В обмотке (витке), по закону Фарадея (правило правой руки), наводится э.д.с.,:
,

где В – магнитная индукция поля, Вб; l – длина провода; v – линейная скорость перемещения проводника.

их среднеквадратичным (действующим) значениям за период, I, U, E –



Например,

действующее значение периодического тока равно такому значению постоянного тока, который, проходя через сопротивление r, за период Т выделяет то же количество тепла, что и данный переменный ток i.
Связь между амплитудным и действующим значениями синусоидального тока равна
(1.3)


Иногда гармонические сигналы характеризуют средним значением.
Среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю, поэтому за среднее значением гармонического тока принимают среднее значение за положительный полупериод:
(1.4).

сигналов одной частоты разность их начальных фаз, называют сдвигом фаз

и обозначают φ ,


Если φ=0,то напряжение и ток совпадают по фазе,
если - в противофазе,

если - в квадратуре.
Если φ>0, то i(t) отстает от U(t) по фазе на угол φ,
если φ<0, то i(t) опережает U(t) по фазе на угол φ.

комплексное число
Ím = Imejφ, где Im амплитуда тока – модуль,

а угол φ - начальная фаза, – аргумент комплексного тока.

При известной частоте ω между Ím  и i(t) = Im sin(ωt + ψ) существует взаимнооднозначное соответствие
i(t) = Im sin(ωt +  φ )↔ Ím = Imejφ,
т.е. зная одно можно записать другое.
Комплексную амплитуду можно записать в алгебраической, показательной и тригонометрической форме

Ím = Re[Ím ]+jIm[Ím ]= Imejφ = Imcos φ + jImsin φ, где – мнимая единица;

Re[Ím ] = Imcos φ и Im[Ím ] =Imsin φ - реальная и мнимая части комплексного числа;

Im =(( Re[Ím ]2 + (Im[Ím ]2)1/2 и φ =arctg Im/ Re - модуль и аргумент комплексной амплитуды.

Во многих случаях пользуются понятием комплексного действующего значения синусоидальной величины
Í = Iеj φ , (1.2)
т.е. комплексного числа с модулем в виде действующего значения Í =Ím/ синусоидальной величины и аргументом в виде начальной фазы.
Использование комплексной формы представления позволяет:
1. заменить операции над функциями времени на операциями над комплексными числами,
2. применять для анализу цепей переменного тока все методы анализа цепей постоянного тока.

комплексной плоскости вектором с длиной Im и углом поворота ψ

относительно вещественной оси Re или
вектором проекции которого на Re и Im оси равны: Re[Ím ] = Imcos φ и Im[Ím ] =Imsin φ - реальная и мнимая части комплексного числа;


Совокупность векторов, отображающих комплексные амплитуды синусоидальных величин (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

пользоваться алгебраической формой записи:

 
При умножении, делении, возведении

в степень удобно пользоваться показательной формой


 
Если комплексное число , то комплексное
число - - называется комплексносопряженным числом.

такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного

тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин: комплексных амплитуд и комплексных сопротивлений.
1. Закон Ома. Он устанавливает связь между комплексными амплитудами тока и напряжения на участке цепи. 1.8.
Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС

где и - комплексные амплитуды тока и напряжения на участке цепи; Z – комплексное сопротивление участка цепи, –комплексные амплитуды потенциалов на данном участке цепи.

2. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных амплитуд (действующих значений) токов в узле равна нулю

3. Второй закон Кирхгофа: В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных амплитуд (действующих значений, ЭДС) равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в нём.
.

отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде входного тока:

R – активное (резистивное) сопротивление, Х– реактивное сопротивление,
Z –модуль комплексного сопротивления (полное сопротивление): Z=(R2+X2)1/2 φ=ψu - ψi – аргумент или начальная фаза комплексного сопротивления :
φz(ω)=ψu-ψi =arctg(X/R).

Взаимосвязь между полным, активным и реактивным сопротивлением графически представляется векторной диаграммой в виде «треугольника сопротивления».
По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:
Z=R – активное (резистивное) сопротивление;
Z=R+jX — активно-индуктивное сопротивление;
Z=R – j X — активно-емкостное.

совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей

постоянного тока. Только все резистивные сопротивления заменены на комплексные сопротивления элементов.

синусоидального тока используются следующие понятия
Мгновенная мощность, характеризует скорость изменения

энергии в цепи в любой момент времени
p(t)=u(t)i(t)=UmSin (ωt+ψu) ImSin(ωt+ψ i)= UICos(ψu- ψi)- UICos(2ωt+ψu+ψi).
Мгновенная мощность содержит постоянную составляющую и переменную составляющую, меняющуюся с удвоенной частотой относительно частоты изменения напряжения и тока.
Активная мощность –средняя мощность за период «Т» : Р=UICosφ → [Вт].
Эта мощность характеризует энергию, рассеиваемую за период питающего напряжения в виде тепла в резистивных элементах цепи, и измеряется в Ваттах. Видно, что средняя или активная мощность всегда положительна и равна постоянной составляющей мгновенной мощности.
Реактивноая мощность Q, вычисляется по формуле: Q = UISinφ , → [ВАР].
Эта мощность не совершает полезной работы, а характеризует интенсивность обмена энергией между генератором и реактивными элементами цепи L и С. Протекание тока обмена приводит к дополнительным потерям энергии в проводах линий передач. Поэтому реактивная мощность должна быть по возможности минимальной.
Реактивная мощность может быть положительной, если φ >0 и отрицательной, если φ<0.
Полная или кажущаяся мощность S
равна произведению действующих значений тока и напряжения
на зажимах цепи, она измеряется в вольтамперах : S=Um.Im/2= UI →[ВА].
Между полной, активной и реактивной мощностью существует связь



Графически ее можно представить в виде «треугольника мощностей» (рис.1.6).
Коэффициент к=Р/S=cosφ называется «коэффициентом мощности» (К→1).

уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в

виде:

(1.7)
Пусть ,тогда:

(1.8)
Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на рис. 1.10. Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на L и C смещены на +-900.
В комплексной форме уравнение (1.8) примет вид:

(1.9)
Здесь: Z=R+j(XL-XC)=Zejφ - комплексное сопротивление, - модуль комплексного сопротивления; - фаза комплексного сопротивления; X=(XL-XC) – реактивное сопротивление.
На комплексной плоскости сопротивления R, jXL, -jXC, Z - образуют треугольник сопротивления, рис. 1.11. Если сопротивления умножить на , получим диаграмму напряжений, рис. 2.12 – треугольник напряжений.

в цепи, состоящей из идеального резистора.
В резисторе происходит

необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Параметром, характеризующим это свойство резистора, является сопротивление R.

Пусть напряжение на резисторе изменяется по закону u = Um·sinω·t,
где начальная фаза для простоты принята равной нулю, ψu = 0.

Ток в цепи определяется по закону Ома:


В этом выражении начальная фаза тока равна нулю (ψi = 0), т. е. На резисторе ток и напряжение совпадают по фазе, φ = 0. Амплитудные (как и действующие) значения связаны законом Ома


Мгновенная мощность, потребляемая резистором:


Мгновенная мощность является положительной, рис.3.4, б. Это означает, что вся энергия, поступающая от источника, потребляется активной нагрузкой с сопротивлением R.

На практике пользуются средним значением мощности за период, которое называют активной мощностью
Активная мощность выражается в Вт. Учитывая, что U = R·I, получаем P = R·I2.

Запишем электрические величины в комплексной форме.
Напряжение и ток (действующие значения)

Комплексное сопротивление цепи:
Активное сопротивление R является положительным действительным числом (мнимая часть комплексного сопротивления Z равна нулю).

Рис. 3.4 – а) схема замещения; б) временная; в) векторная диаграммы

р = u·i= Um·Imsin2ω·t = Um·Im·(1 – cos2·ω·t)/2 =
U·I·(1 – cos2·ω·t).

по ней тока обладает способностью создавать магнитное поле.
Это свойство

характеризуется параметром катушки, называемым индуктивностью L =ψ/I.

Напряжение источника и = иL уравновешивается ЭДС самоиндукции еL катушки

Из выражения видно, что начальная фаза напряжения напряжения на идеальной катушке индуктивности опережает синусоиду тока по фазе на угол π/2

Амплитуда напряжения Um = ωLIm , откуда имеем или

Это выражение представляет закон Ома для идеальной индуктивности.
Индуктивное сопротивление ωL выражается в омах и обозначается ХL, т. е. ХL = ω L = 2 π f L.

Индуктивное сопротивление катушки имеет место только в том случае, когда происходит изменение тока во времени и зависит от скорости его изменения. При постоянном токе (f = 0) индуктивное сопротивление равно нулю.
Мгновенная мощность в индуктивном элементе

Активная мощность в такой цепи, определяемая как средняя мощность за период, равна нулю, рис. 3.5, б. РА=0
Реактивная мощность PQ=UI. Полная мощность равна реактивной S=PQ
С энергетической точки зрения такой характер графика мгновенной мощности отражает накопление энергии в магнитном поле катушки (когда мощность положительная) и возврат её обратно источнику питания (когда мощность отрицательная). Приёмники, которые получают энергию от источника, а затем возвращают её источнику, называют реактивными.

Запишем электрические величины в комплексной форме. Напряжение и ток в цепи имеют вид (действующие значения) U = U·ej·ψu, I = I·ej·ψi , ψu = π/2, ψi = 0, φ = π/2. Индуктивное сопротивление является положительным мнимым числом.


Комплексное сопротивление цепи

как связаны между собой ток i и напряжение u в

электрической цепи, схема замещения которой представлена на рис. 10.
Для схемы рис. 1.9. уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:

заменяется комплексной схемой замещения, в которой:
а) все пассивные элементы заменяют

их комплексными сопротивлениями, как показано на рис.
б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е.
х(t) = Xm cos(0t – x)  Xm = Xm e–jx и Ym cos(0t – y)  Ym = Ym e–jy. .




Рис. 1.3. Замена пассивных элементов цепей их комплексными сопротивлениями
2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Ym = Ym e–jy. методами анализа линейных цепей по постоянному току
3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е. Ym = Ym e–jy  y(t) = Ym cos(0t – y).
4) определить комплексную частотную характеристику по формуле (1).
На рис.1.4 приведены схемы замещения реактивных элементов, когда частота входного сигнала стремится к 0 или ∞. Ими удобно пользоваться при расчете входных и передаточных параметров цепи на этих частотах.

1.2. Расчет цепей при гармоническом воздействии методом комплексных амплитуд (МКА)

РИИТ
(кафедра Радиоэлектроники и информационно-измерительной техники)


Электротехника и электроника