Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Элементы и множества. Операции над множествами и их свойств
Содержание
- 1. Элементы и множества. Операции над множествами и их свойств
- 2. Основные вопросы:Понятие множества Способы задания множества Отношения между множествами Операции над множествами
- 3. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое»основатель
- 4. Понятия теории множеств Понятие
- 5. С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего
- 6. Примеры множеств:множество учащихся в данной аудитории; множество
- 7. понедельник
- 8. Музыкальные инструменты
- 9. Если элемент x принадлежит множеству X, то
- 10. Множество четырехугольниковПространственные тела1, 2, 3, 4, 5,
- 11. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.
- 12. Обозначения некоторых числовых множеств:
- 13. Способы задания множеств Множество может быть задано
- 14. Примеры
- 15. Примеры
- 16. Виды множеств:1 – конечные, 2 – бесконечные,3 – пустые.
- 17. Если элементы множества можно сосчитать, то множество
- 18. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество
- 19. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
- 20. Мощность множестваЧисло элементов конечного множества называют мощностью
- 21. Пример . Определите мощность какого из множеств
- 22. Отношения между множествами Наглядно отношения между множествами
- 23. При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы
- 24. Множество A называется подмножеством множества B, если
- 25. Свойства множествЛюбое множество является подмножеством самого себя
- 26. Два множества А и В называются равными
- 27. Количество подмножествЕсли мощность множества n, то у этого множества 2n подмножеств.А={1,2}Подмножества А:{}, {1}, {2}, {1,2}.
- 28. В={1,3,5}Подмножества В:{}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5},
- 29. Операции над множествамиПересечением (произведением) множеств А и
- 30. Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e}, то А ∩ В = {b}Операции над множествамипересечение
- 31. Операции над множествами
- 32. Объединением (суммой) двух множеств А и В
- 33. объединениеНапример, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А B = {1,2,3,4,5,6}124А4356ВОперации над множествами
- 34. Операции над множествами
- 35. Разностью множеств А и В называется множество
- 36. разностьНапример, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А\В = {1,2}124А4356ВОперации над множествами
- 37. Операции над множествами
- 38. Операции над множествамиДополнение множестваЧасто множества A,B,C …
- 39. Если А - множество параллелограммов, В- множество
- 40. Задача. Даны множестваНайти: объединение, пересечение, разность.
- 41. Слайд 41
- 42. Слайд 42
- 43. Слайд 43
- 44. Слайд 44
- 45. Всего 67Английский 47Немецкий 352347-23=242435-23=121224+12+23=5967- 59=8Задача. На фирме
- 46. Задача. Каждый учащийся в классе изучает английский
- 47. Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме,
- 48. Домашнее задание:В студенческом потоке 37 человек хорошо
- 49. Скачать презентанцию
Основные вопросы:Понятие множества Способы задания множества Отношения между множествами Операции над множествами
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Основные вопросы:
Понятие множества
Способы задания множества
Отношения между множествами
Операции
над множествами
Слайд 3«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»
основатель теории множеств –
Георг Кантор
(1845—1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных
множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19— 20 вв. 
Слайд 4Понятия теории множеств
Понятие множества является одним из
наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено
в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.
Слайд 5С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по
какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то
объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое.Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С, D .
Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита.
Слайд 6Примеры множеств:
множество учащихся в данной аудитории;
множество людей, живущих на нашей
планете в данный момент времени;
множество точек данной геометрической фигуры;
множество чётных
чисел;
множество корней уравнения х2-5х+6=0;
множество действительных корней уравнения х2+9=0;
Слайд 9Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x
Х ( — принадлежит).
В противном случае, если a не принадлежит
множеству А, будем использовать обозначение : Если множество А является частью множества В, то записывают А В ( — содержится).
Слайд 10Множество четырехугольников
Пространственные тела
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11…
Квадраты чисел
Цифры десятичной системы счисления
10, 12, 14, 16
… 96, 98
Слайд 12 Обозначения некоторых числовых множеств:
N – множество
натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;I - множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Слайд 13Способы задания множеств
Множество может быть задано перечислением всех его
элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри
фигурных скобок, например: A={студент А., рабочий Л., школьник М.}.2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: «A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B». Например, а – четное натуральное число.
3. Множество может быть задано указанием характеристического свойства его элементов , то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они:
Здесь x М означает, что элемент х является элементом известного множества .
Запись Р(х) означает, что элемент х обладает свойством Р. Свойство Р(х) формулируется словами, символами или выражается с помощью уравнения или неравенства.
Слайд 17Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ
Пример
Множество
гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов –
это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.
Слайд 18Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ
Пример
Множество натуральных чисел
бесконечно.
Пример
Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.
Пример
Множество атомов во Вселенной
![Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕПримерМножество натуральных чисел бесконечно.ПримерМножество точек отрезка [0;1] бесконечно.ПримерМножество атомов во](/img/thumbs/db7657d31b64818e9002f6bd628f02aa-800x.jpg "Элементы и множества. Операции над множествами и их свойств Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕПримерМножество натуральных чисел бесконечно.ПримерМножество")
Слайд 19Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно
обозначается знаком
Пример
Множество действительных корней уравнения x2 +1=0.
Пример
Множество людей,
проживающих на Солнце.
Слайд 20Мощность множества
Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и
обозначают символом m (A) или |A|.
Количество элементов в конечном
множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.
Слайд 21Пример . Определите мощность какого из множеств A = {1,
3, 5, 7, 9} или B = {2, 4, 6,
8} больше.Решение. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов.
Так, если A = {1, 3, 5, 7, 9}, а
B = {2, 4, 6, 8}, то m (A) = 5, а m (B) = 4 и потому m (A) > m (B).
Слайд 22Отношения между множествами
Наглядно отношения между множествами изображают при помощи
особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).
Для
этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) 
Слайд 23При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых
универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества
в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника
Слайд 24Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества
A принадлежит множеству B.
Эта зависимость между множествами называется включением.
При
этом пишут AB, где есть знак вложения подмножества. 
Слайд 25Свойства множеств
Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): A B.
Для
любых множеств А,В,С справедливо свойство транзитивности: если
и
, то .Для всякого множества А пустое множество является его подмножеством: А
Слайд 26 Два множества А и В называются равными ( А =
В ), если они состоят из одних и тех же
элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .Примеры
1. , . Множества и состоят из одних и тех же элементов, поэтому они равные: А = В .
2. Множество решений уравнения есть множество чисел 2 и 3, то есть . Множество В простых чисел, меньших 5, также состоит из чисел 2 и 3, то есть .
Слайд 27Количество подмножеств
Если мощность множества n, то у этого множества 2n
подмножеств.
А={1,2}
Подмножества А:
{}, {1}, {2}, {1,2}.
Слайд 28В={1,3,5}
Подмножества В:
{}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {5,3}, {1,3,5}
С={а,и,е,о}
Подмножества С:
{},
{а}, {и}, {е}, {о}, {а,и}, {а,е}, {а,о}, {и,е}, {и,о}, {е,о},
{а,и,е}, {а,и,о}, {а,е,о}, {и,е,о}, {а,и,е,о}.Количество подмножеств
Слайд 29Операции над множествами
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество
А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так
и множеству В.А∩В={х│хєА и хєВ}
Слайд 32Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество А
В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А
или В.Операции над множествами
АUВ={х│хєА или хєВ}
Слайд 33 объединение
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},
то А B =
{1,2,3,4,5,6}
1
2
4
А
4
3
5
6
В
Операции над множествами
Слайд 35Разностью множеств А и В называется множество А- В, элементы
которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Операции над
множествами
Слайд 36разность
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5},
то А\В = {1,2}
1
2
4
А
4
3
5
6
В
Операции над множествами
Слайд 38Операции над множествами
Дополнение множества
Часто множества A,B,C … являются подмножествами некоторого
более широкого множества U, принимаемого за универсальное.
Слайд 39Если А - множество параллелограммов, В- множество трапеций, С -
множество ромбов, D - множество прямоугольников, E - множество квадратов,
то универсальным множеством U служит множество всех четырехугольников.Если А - множество треугольников, В- множество четырехугольников и так далее, то в качестве универсального множества U можно выбрать множество всех многоугольников.
Операции над множествами
ПРИМЕРЫ:
Слайд 45Всего 67
Английский 47
Немецкий 35
23
47-23=24
24
35-23=12
12
24+12+23=59
67- 59=8
Задача. На фирме работают 67 человек.
Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык,
а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?
Слайд 46Задача. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык.
Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а
два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?Ответ: в классе 34 ученика
Английский 25
Немецкий 27
Только английский
25 – 18 = 7
Только немецкий
27 – 18 = 9
7 + 9 + 18 = 34
18
7
9
Слайд 47Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету,
или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей
выписывают
газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?Всего: 14 + 13 + 62 =89
Слайд 48Домашнее задание:
В студенческом потоке 37 человек хорошо знают математику, а
25 человек – электронику, и 19 человек хорошо знают и
математику и электронику. Если в потоке каждый из студентов знает хотя бы один из этих предметов, то сколько студентов в потоке?
