Элементы линейной алгебры. Системы линейных уравнений

факультет
Кафедра высшей математики




«Математика»
Лекция 2. Элементы линейной алгебры.
Системы линейных уравнений



Лектор: Бодряков

В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru
Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г.



Екатеринбург - 2012

СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и

математическая статистика . М.: Высшая школа. 1999. – 479 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике – М.: Высшая школа. 1999. – 400 с.
Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике, М., Айрис Пресс, 2007, ч. 1, 2.
Коробков, С.С. Математика для гуманитарных специальностей [Электронный ресурс]: учебное пособие. – Екатеринбург: УрГПУ, 2007. – 124 с.
Кремер Н.И. Высшая математика для экономических специальностей – М : Высшая школа. 2008. – 732 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

Капелли
§3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
§4. Решение систем линейных

уравнений методом Гаусса
§5. Системы линейных однородных уравнений

Содержание лекции

регламентируемых ФГОС ВПО направлению «080400 – Управление персоналом» (квалификация «бакалавр»)

по циклу Б2 – математический и естественно-научный цикл, в частности, компетенции ОК-16: владение методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования, и др.
Задачи занятия: Познакомиться с профессионально важными понятиями линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и методы их решения и др.); проиллюстрировать применение изученного материала на конкретных примерах.

Цель и задачи занятия

одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного

решения.
Df: Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Df: Решить систему алгебраических уравнений – это значит выяснить, совместна она или несовместна, и, если система совместна, найти ее общее решение.
Df: Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение, т.е. всякое решение одной системы является, в то же время, решением другой, и наоборот.

§1. Основные понятия (продолжение)

из следующих теорем.
Т е о р е м а 2.

Если ранг r(A) матрицы A совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных n, т.е. r(A) = n, то система имеет единственное решение.
Т е о р е м а 3. Если ранг r(A) совместной системы меньше числа неизвестных n, т.е. r(A) < n, то система имеет бесчисленное множестве решений.
П р а в и л о решения произвольной системы линейных уравнений.
1. Найти ранги основной r(A) и расширенной r(Ā) матриц системы. Если r(A) ≠ r(Ā), то система несовместна.

§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)

какой-либо базисный минор порядка r. Взять произвольно r уравнений системы

из коэффициентов которых составлен базисный минор, отбросив остальные m – r уравнений.
Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются главными; иx оставляют слева, а остальные n – r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
3. Найти выражения для главных неизвестных через свободные.
4. Придавая свободным неизвестным произвольные действительные значения, получим все соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти все частные решения исходной системы уравнений.

§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)

линейных уравнений r(A) = n = r(Ā) равен рангу расширенной

матрицы, т.е. такая линейная система имеет единственное решение.
Для нахождения решения системы линейных уравнений n-го порядка с невырожденной матрицей A = An×n может быть применен матричный метод (способ).
Техника применения матричного метода для решения системы уравнений очевидна из выкладок:
A⋅X = B;
A−1⋅A⋅X = A−1⋅B,
но A−1⋅A⋅X = (A−1⋅A)⋅X = E⋅X = X, откуда матрица-столбец решений выражается матричным образом как
X = A−1⋅B.

§3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера (продолжение)

д.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении полученной на

первом этапе ступенчатой системы.
Ступенчатая система имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное xk через оставшиеся неизвестные (xk+1, xk+2, …, xn). Затем подставляем значение xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем xk−1 через (xk+1, xk+2, …, xn); затем находим xk−2, xk−3, …, x1. Придавая свободным неизвестным (xk+1, xk+2, …, xn) произвольные значения, получим бесчисленное множество частных решений системы.

§4. …метод Гаусса (продолжение)

Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. k = n, то

исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения найдем xn, из предпоследнего уравнения xn−1, далее, поднимаясь по системе, найдем все остальные неизвестные xn−2, xn−3, …, x1.
З а м е ч а н и е 2. На практике удобнее работать не с исходной системой линейных алгебраических уравнений, а с ее расширенной матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен единице. Для того, чтобы добиться этого, можно либо уравнения поменять местами, либо разделить обе части уравнения на a11 ≠ 1.

§4. …метод Гаусса (продолжение)

однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые

решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Δ был равен нулю, т.е. Δ = 0.
Доказательство: Если система имеет ненулевые решения, то Δ = 0. Ибо при Δ ≠ 0 система имеет только единственное, нулевое, решение. Если же Δ = 0, то ранг r(A) основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r(A) < n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений, ч.т.д.

§5. Системы линейных однородных уравнений (продолжение)