Слайд 1Элементы математической статистики
Слайд 2Основные понятия
Математическая статистика – раздел математики, который изучает способы отбора,
группировки, систематизации и анализа статистических данных, для получения научно обоснованных
выводов.
Статистические данные – числовые значения рассматриваемого признака изучаемых объектов.
Генеральная совокупность – статистические данные всех изучаемых объектов (иногда – сами объекты).
Выборка – статистические данные объектов, выбранных из генеральной совокупности.
Объём выборки n (генеральной совокупности N) – количество объектов, выбранных для изучения из генеральной совокупности.
Слайд 3Дискретный статистический ряд
Генеральная совокупность – дискретная СВ.
Пусть значение
появилось в выборке раз,
- раза , …, - раз.
- i-тая варианта выборки; относительная
- частота i-той варианты; частота i-той
варианты
Статистический ряд частот Статистический ряд
относительных частот
Слайд 4Числовые характеристики выборки
Среднее выборочное – среднее значение
выборки
Выборочная дисперсия - среднее значение квадрата
отклонения значений выборки от выборочного среднего.
Слайд 5Числовые характеристики выборки
Исправленная выборочная дисперсия :
Исправленное среднее
квадратическое отклонение :
Слайд 6Интервальный статистический ряд
Генеральная совокупность – непрерывная СВ;
ширина интервала h ;
начало первого интервала
где - частота попадания значений
выборки
в i-тый интервал;
- относительная частота попадания в i-тый интервал
Слайд 7Геометрическая интерпретация статистического распределения
Полигон относительных частот выборки – ломаная линия,
соединяющая последовательно точки с координатами
Гистограмма относительных частот– совокупность прямоугольников,
с основанием h и высотой
Слайд 8Оценка параметров генеральной совокупности по выборке
Статистическая оценка –
приближённое значение параметра , найденное по выборке:
Свойства статистических оценок:
1. Несмещённость – не делается систематической ошибки в сторону завышения или занижения,
т.е.
2. Состоятельность - при увеличении числа опытов оценка приближается (сходится по вероятности) к параметру :
3. Эффективность - обладает наименьшей дисперсией:
Слайд 9Точечные оценки математического ожидания , дисперсии и вероятности.
Точечная оценка –
оценка , которую используют в качестве приближённого значения
параметра
Пусть - выборка,
Среднее выборочное есть несмещённая и состоятельная оценка математического ожидания
генеральной совокупности.
Исправленная выборочная дисперсия есть несмещённая и состоятельная оценка дисперсии
генеральной совокупности.
Частота появления события А в n независимых испытаниях есть несмещённая, состоятельная и эффективная оценка вероятности события А
Слайд 10Интервальное оценивание параметров
Интервал ,
покрывающий с вероятностью γ истинное значение параметра
, называется доверительным интервалом.
γ - доверительная вероятность или надёжность оценки.
1- γ =α – уровень значимости, вероятность того, что истинное значение параметра окажется вне доверительного интервала
Часто доверительный интервал выбирается симметричным относительно несмещённой оценки параметра :
Слайд 11Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Доверительный интервал для неизвестного М(Х)=а
при известной дисперсии
Х~N(a;σ); σ – известна;
γ –
доверительная вероятность (задана)
- доверительный интервал
определяется из равенства
где - функция Лапласа (табулирована)
Слайд 12Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Доверительный интервал для неизвестного М(Х)=а
при неизвестной дисперсии
Х~N(a;σ); σ – неизвестна
γ – доверительная
вероятность (задана)
- доверительный интервал,
где S – исправленное среднее квадратическое отклонение;
определяется по таблице квантилей распределения Стьюдента
α=1- γ – уровень значимости;
k=n-1 – число степеней свободы.
Слайд 13Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Доверительный интервал для неизвестного D(Х)=
при неизвестном математическом ожидании
Х~N(a;σ); a и σ – неизвестны
γ
– доверительная вероятность (задана)
доверительный интервал ,
где
Находится по таблице , k =n-1 – число степеней свободы
Слайд 14Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Доверительный интервал для оценки вероятности
успеха при большом числе испытаний Бернулли
Слайд 15Проверка статистических гипотез
Статистическая гипотеза – всякое предположение о генеральной совокупности
, проверяемое по выборке.
Параметрические гипотезы - о параметрах распределения генеральной
совокупности.
Непараметрические гипотезы - о неизвестном законе распределения генеральной совокупности.
Гипотезу можно только принять или опровергнуть.
Слайд 16Проверка статистических гипотез
Простая гипотеза –об одном значении параметра.
Сложная гипотеза -
в противном случае.
Выделяют гипотезы и
- основная или нулевая гипотеза.
- альтернативная гипотеза.
- логическое отрицание гипотезы
Пример: нулевая гипотеза : ;
альтернативная гипотеза :
Слайд 17Статистический критерий
Статистический критерий- правило, которое применяется для проверки гипотез.
Статистический
критерий включает в себя:
формулу расчёта эмпирического критерия по выборочным данным;
формулу
для определения числа степеней свободы;
теоретическое распределение для данного числа степеней свободы;
Правило соотнесения эмпирического значения критерия с теоретическим распределением для определения вероятности того, что верна.
Слайд 19Проверка гипотез о законе распределения
Используется критерий согласия – критерий проверки
гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Критерий согласия
Пирсона:
Вычисляется по выборке
По таблице - распределения находим критическую точку (квантиль) , где α-уровень значимости,
k - число степеней свободы .
если , то гипотеза принимается;
если , то гипотеза отвергается.
